29. Полное внутреннее отражение света

Определения и обозначения

Полное внутреннее отражение — явление, при котором свет полностью отражается от границы двух сред и не переходит во вторую. Оно возможно при двух условиях: свет идёт из среды с большим показателем преломления в среду с меньшим, а угол падения больше предельного. Показатель преломления обозначают n. Эти условия помогают сразу проверить, может ли возникнуть такое отражение.

Оптически более плотной называют среду с большим показателем преломления, а оптически менее плотной — с меньшим. Речь идёт не о плотности вещества: например, важна способность среды изменять скорость распространения света, а не то, насколько тяжёлым или плотным является её материал. В задачах среду, из которой выходит луч, обычно обозначают индексом 1, а среду, куда он мог бы перейти, — индексом 2. Для полного внутреннего отражения требуется n₁ > n₂.

Предельный угол полного внутреннего отражения αпр — угол падения, при котором преломлённый луч идёт вдоль границы, то есть угол преломления равен 90°. Он задаёт границу между обычным преломлением и полным внутренним отражением. Для двух сред его находят по формуле sin αпр = n₂/n₁, где n₁ > n₂. Угол αпр отсчитывают от нормали — перпендикуляра к границе раздела.

Как это устроено

Когда свет попадает из одной среды в другую, его скорость меняется, поэтому меняется и направление луча. Если свет идёт из среды с большим показателем преломления n₁ в среду с меньшим n₂, он отклоняется от нормали. Это следует из закона преломления: n₁ sin α = n₂ sin β, где α — угол падения, а β — угол преломления. При n₁ > n₂ для равенства требуется sin β больше, чем sin α, поэтому β больше α.

Если увеличивать угол падения α, угол преломления β тоже увеличивается. В предельном случае луч уже не уходит в глубину второй среды, а скользит вдоль границы: β = 90°, и sin β = 1. Подставляя это в закон преломления, получаем n₁ sin αпр = n₂, откуда sin αпр = n₂/n₁. Формула применима именно при n₁ > n₂; значение отношения не должно превышать единицу.

При угле падения больше αпр обычного преломлённого луча, направленного во вторую среду, уже нет. Действительно, закон преломления потребовал бы, чтобы синус угла преломления стал больше единицы, а для реального угла это невозможно. Поэтому свет отражается обратно в первую среду. Следовательно, для полного внутреннего отражения одновременно нужны переход из оптически более плотной среды в менее плотную и угол падения α > αпр.

При α = αпр преломлённый луч ещё существует: он направлен вдоль границы раздела, образуя с нормалью угол 90°. При α < αпр угол преломления меньше 90°, поэтому луч проходит во вторую среду; на границе также есть отражённый луч. При α > αпр преломлённого луча нет и свет полностью отражается. Такое сравнение с предельным углом позволяет точно различить три режима.

В оптическом волокне свет распространяется по сердцевине, показатель преломления которой выше, чем у окружающей оболочки. Когда луч внутри сердцевины попадает на границу с оболочкой под достаточно большим углом к нормали, выполняются условия полного внутреннего отражения. После отражения он остаётся в сердцевине и снова достигает стенки в другом месте. Многократные отражения позволяют передавать свет вдоль волокна, в том числе по изогнутому пути.

Поведение света при переходе между средами

Сначала убедитесь, что свет идёт из среды с большим показателем преломления в среду с меньшим, и сравните угол падения с αпр. Затем найдите нужный столбец: он показывает, будет ли преломлённый луч и как он направлен. Во всех трёх случаях отражённый луч присутствует, но только при угле больше предельного всё падающее световое излучение остаётся в первой среде.

Разбор задач

Задача 1. Луч идёт из стекла с показателем преломления 1,5 в воздух. Найти предельный угол полного внутреннего отражения. Показатель преломления воздуха примем равным 1,0. Поскольку свет идёт из стекла в воздух, n₁ = 1,5, а n₂ = 1,0.

1. Запишем формулу для предельного угла: sin αпр = n₂/n₁.
2. Подставим значения: sin αпр = 1,0/1,5 ≈ 0,667.
3. Найдём угол обратной функцией синуса: αпр = arcsin(0,667) ≈ 42°.

Ответ: предельный угол составляет примерно 42°. Полное внутреннее отражение возможно при угле падения больше этого значения.

Задача 2. Луч идёт из воды в воздух под углом падения 50°. Определить, будет ли полное внутреннее отражение. Возьмём показатели преломления воды 1,33 и воздуха 1,00. Нужно проверить не только угол, но и направление перехода.

1. Вода оптически плотнее воздуха: n₁ = 1,33 > n₂ = 1,00, поэтому первое условие выполнено.
2. Найдём предельный угол: sin αпр = 1,00/1,33 ≈ 0,752, значит αпр ≈ arcsin(0,752) ≈ 49°.
3. Сравним углы: 50° > 49°. Угол отсчитывается от нормали, поэтому второе условие также выполнено.

Ответ: полное внутреннее отражение будет. Преломлённый луч во вторую среду не выйдет; свет отразится обратно в воду.

Задача 3. Луч падает из стекла в воздух под углом 30° к нормали. Нужно определить, существует ли преломлённый луч и как пойдут лучи на границе. Возьмём nстекла = 1,5 и nвоздуха = 1,0, как и в первой задаче.

1. Свет идёт из стекла в воздух, то есть из среды с большим показателем преломления в среду с меньшим; полное внутреннее отражение в принципе возможно.
2. Предельный угол αпр ≈ 42°. Поскольку 30° меньше 42°, условие полного внутреннего отражения не выполнено.
3. На границе появятся отражённый и преломлённый лучи. Преломлённый луч отклонится от нормали, но не пойдёт вдоль границы.

Ответ: преломлённый луч существует, полного внутреннего отражения нет. Сравнивать нужно именно угол падения, измеренный от нормали, а не угол между лучом и поверхностью.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что полное внутреннее отражение возможно при переходе в любую среду. Её допускают, если помнят только про большой угол и забывают направление изменения показателя преломления. Проверьте, что свет выходит из среды с большим n: без условия n₁ > n₂ явление невозможно.

Вторая ошибка — измерять угол падения от границы, а не от нормали. Луч может выглядеть почти параллельным поверхности, и угол с самой поверхностью легко принять за угол падения. Перед расчётом мысленно проведите перпендикуляр к границе и отсчитывайте угол именно от него.

Третья ошибка — считать, что полное внутреннее отражение наступает уже при предельном угле. Так путают момент, когда преломлённый луч достигает границы, с режимом, в котором он исчезает. При α = αпр луч идёт вдоль раздела, а полное отражение происходит при α > αпр.

Четвёртая ошибка — переставлять показатели преломления в формуле предельного угла. Это происходит, если не связать индексы с направлением перехода. Запишите n₁ для среды, из которой выходит свет, и n₂ для второй среды, затем проверьте: при n₁ > n₂ отношение n₂/n₁ меньше единицы.

Связь с другими темами

Для понимания полного внутреннего отражения нужны закон преломления света, показатель преломления и понятие нормали к границе сред. Закон преломления позволяет объяснить, почему преломлённый луч отклоняется от нормали и как из этого возникает предельный угол. Без правильного отсчёта углов от нормали нельзя верно сравнить угол падения с предельным.

Явление объясняет работу оптических волокон и световодов, по которым передают световые сигналы. Оно также помогает разбирать устройство оптических приборов, где направление световых лучей меняют с помощью отражения внутри прозрачных деталей. В каждом случае сначала выясняют показатели преломления и условия падения луча на границу.

Что запомнить

• Полное внутреннее отражение возможно при переходе из оптически более плотной среды в менее плотную.
• Угол падения отсчитывают от нормали к границе сред.
• Предельный угол соответствует углу преломления 90°.
• Для предельного угла выполняется sin αпр = n₂/n₁, где n₁ > n₂.
• Полное внутреннее отражение происходит, если угол падения больше предельного.
• При полном внутреннем отражении свет не выходит во вторую среду.