60. Энергия связи атомных ядер. Энергетический выход ядерных реакций

Определения и обозначения

Дефект массы Δm — разность между суммой масс свободных нуклонов и массой образовавшегося ядра. Нуклоны — это протоны и нейтроны; дефект показывает, насколько масса связанного ядра меньше их суммарной массы. Он нужен, чтобы определить энергию, выделившуюся при образовании ядра.

Энергия связи Eсв — энергия, необходимая для полного разделения ядра на отдельные нуклоны; столько же энергии выделяется при образовании ядра. Она описывает, насколько прочно частицы удерживаются вместе. Через неё можно оценивать энергетические изменения при превращениях ядер.

Удельная энергия связи — энергия связи, приходящаяся на один нуклон: Eсв/A, где A — общее число протонов и нейтронов. В отличие от энергии связи всего ядра, эта величина позволяет честно сравнивать ядра разного размера. Чем она больше, тем устойчивее ядро.

Энергетический выход ядерной реакции Q — энергия, выделившаяся или поглощённая из-за изменения суммарной массы частиц. Для его вычисления сравнивают массу исходных частиц с массой продуктов реакции. Знак Q показывает, отдаёт система энергию или получает её.

Как это устроено

Свободные нуклоны при соединении в ядро переходят в связанное состояние. Энергия этой системы становится меньше: избыток уходит наружу, например в виде излучения. По соотношению Эйнштейна E = Δmc² уменьшение энергии означает уменьшение массы, поэтому масса ядра оказывается меньше суммы масс его свободных составляющих. Разность и называют дефектом массы.

Чтобы найти энергию связи ядра с Z протонами и A − Z нейтронами, сначала вычисляют Δm = Zmₚ + (A − Z)mₙ − mя, где mₚ, mₙ и mя — массы протона, нейтрона и ядра. Затем используют Eсв = Δmc². Массы атомов часто удобнее брать в атомных единицах массы: при согласованном использовании атомных масс электронные массы в исходных и конечных атомах сокращаются. Поскольку 1 а. е. м. · c² ≈ 931,5 МэВ, дефект в а. е. м. сразу переводят в энергию в МэВ, не выполняя длинное вычисление в джоулях.

Энергия связи целого ядра обычно увеличивается с числом нуклонов, поэтому сама по себе она не показывает, какое из двух ядер устойчивее. Для сравнения делят её на число нуклонов и получают удельную энергию связи. На графике видно, что она быстро растёт у лёгких ядер, достигает максимума у ядер средней массы, близких к железу, а затем постепенно уменьшается. Поэтому нуклоны в ядрах около этого максимума в среднем связаны особенно прочно.

Для реакции энергетический выход рассчитывают по разности суммарных масс: Q = (mисх − mкон)c². Если исходная масса больше конечной, Q положительно: недостающая масса соответствует выделившейся энергии. Если конечная масса больше, Q отрицательно и энергию требуется сообщить реакции. Для вычислений с атомными единицами массы удобно применять коэффициент 931,5 МэВ на одну а. е. м.; знак разности важно сохранить.

При делении тяжёлого ядра образуются более лёгкие ядра, а при слиянии лёгких — более тяжёлое. В обоих случаях продукты могут приблизиться к области максимальной удельной энергии связи и стать связанными сильнее. Тогда их суммарная масса меньше массы исходных частиц, а разность уходит в виде энергии. Это объясняет возможность выделения энергии и при делении, и при синтезе, хотя не всякая ядерная реакция обязательно энергетически выгодна.

Величины, характеризующие энергию связи и энергетический выход

Сначала выберите формулу по вопросу задачи: для ядра используют дефект массы, а для реакции сравнивают массы до и после превращения. Проследите, чтобы массы были выражены в одинаковых единицах. Если массы указаны в а. е. м., результат в МэВ получают умножением разности на 931,5.

Разбор задач

Задача 1. Массы протона, нейтрона и ядра дейтерия равны 1,0073; 1,0087 и 2,0136 а. е. м. Найдём дефект массы и энергию связи. В ядре дейтерия один протон и один нейтрон, поэтому складываем именно эти две массы, а не массу нескольких одинаковых нуклонов.

1. Сумма масс свободных нуклонов: 1,0073 + 1,0087 = 2,0160 а. е. м.
2. Дефект массы: Δm = 2,0160 − 2,0136 = 0,0024 а. е. м. Получилось положительное значение, как и должно быть для связанного ядра.
3. Энергия связи: Eсв = 0,0024 · 931,5 ≈ 2,24 МэВ.

Ответ: Δm = 0,0024 а. е. м.; Eсв ≈ 2,24 МэВ. Мы использовали коэффициент перевода а. е. м. в МэВ, поэтому отдельно подставлять массу в килограммах не пришлось.

Задача 2. Для реакции ²H + ³H → ⁴He + ¹n даны массы 2,0141; 3,0160; 4,0026 и 1,0087 а. е. м. Сначала складываем массы каждой стороны реакции: так становится понятно, какая масса превращается в энергию. Число нуклонов и заряд в записи реакции сохраняются.

1. Масса исходных частиц: mисх = 2,0141 + 3,0160 = 5,0301 а. е. м.
2. Масса продуктов: mкон = 4,0026 + 1,0087 = 5,0113 а. е. м.
3. Разность равна 5,0301 − 5,0113 = 0,0188 а. е. м. Поэтому Q = 0,0188 · 931,5 ≈ 17,5 МэВ.

Ответ: энергетический выход реакции составляет примерно 17,5 МэВ, энергия выделяется. Положительный результат получается, потому что продукты имеют меньшую суммарную массу, чем исходные частицы.

Задача 3. Для реакции ²³⁵U + ¹n → ¹⁴¹Ba + ⁹²Kr + 3¹n требуется найти энергию деления одного ядра, а затем энергию для образца урана. В условии плана численные значения атомных масс и масса образца не указаны, поэтому численный ответ получить нельзя. Подставлять выдуманные значения было бы неверно; ход расчёта можно записать в общем виде.

1. Для одного деления найдите mисх = m(²³⁵U) + m(n) и mкон = m(¹⁴¹Ba) + m(⁹²Kr) + 3m(n).
2. Вычислите Q = (mисх − mкон) · 931,5 МэВ. Если данная разность положительна, такое количество энергии выделяется за одно деление.
3. Переведите энергию в джоули: Qдж = Q · 1,602 × 10⁻¹³. Для образца массы m число ядер урана равно N = (m/M)Nₐ, где M — молярная масса, Nₐ — постоянная Авогадро.
4. При одном делении каждого ядра полная энергия равна E = NQдж. Если известна только доля ядер, которые делятся, число делений и энергию нужно соответственно уменьшить.

Ответ: численные значения зависят от отсутствующих масс и массы образца; формулы для их расчёта приведены в шагах. Подставлять МэВ в формулу для полной энергии в джоулях можно только после перевода единиц.

Типичные ошибки

Путают энергию связи и удельную энергию связи. Первая относится ко всему ядру и обычно растёт с числом нуклонов; вторая приходится на один нуклон и сравнивает ядра разного размера. Путаница возникает потому, что обе величины характеризуют связанность. Проверьте, делили ли вы энергию связи на A, если сравниваете устойчивость.

Берут разность масс в неверном порядке. Для энергетического выхода нужно вычитать массу продуктов из массы исходных частиц. Ошибку допускают, перенося формулу для дефекта массы ядра на реакцию без учёта её направления. Проверьте знак: при выделении энергии Q положительно и исходная масса больше конечной.

Учитывают не все нуклоны. Иногда в сумму включают только протоны или только нейтроны, хотя ядро содержит и те и другие. Так можно ошибиться, если ориентироваться лишь на атомный номер или массовое число. Проверьте состав: в ядре с зарядовым числом Z и массовым числом A находятся Z протонов и A − Z нейтронов.

Смешивают единицы массы и энергии. Дефект в а. е. м. нельзя напрямую подставить в формулу с массами в килограммах, а энергию одной реакции нельзя считать энергией всего образца. Ошибка появляется при пропуске перевода единиц или подсчёта числа ядер. Запишите единицы у каждого шага и умножайте энергию одного превращения на число произошедших реакций.

Связь с другими темами

Для расчётов нужны строение ядра, состав из протонов и нейтронов, обозначение изотопов и закон сохранения энергии. Соотношение E = mc² связывает изменение массы с энергией. Энергия связи помогает объяснять устойчивость ядер и некоторые процессы радиоактивности. Понимание энергетического выхода подготавливает к изучению деления, цепных реакций и работы атомных электростанций; синтез лёгких ядер связан с источниками энергии звёзд.

Что запомнить

• Дефект массы связан с энергией связи формулой Eсв = Δmc².
• Энергия связи — энергия, необходимая для разделения ядра на отдельные нуклоны.
• Удельная энергия связи равна энергии связи, делённой на число нуклонов.
• Чем больше удельная энергия связи, тем устойчивее ядро.
• Энергетический выход определяют по разности суммарных масс исходных и конечных частиц.
• При положительном энергетическом выходе энергия выделяется, при отрицательном — поглощается.
• Синтез лёгких и деление тяжёлых ядер могут выделять энергию, если продукты ближе к области максимальной удельной энергии связи.