"Физика (базовый уровень)", Белага В.В., Ломаченков И.А., Панебратцев Ю.А.
Сила тяжести изменяет скорость тела и определяет его движение у поверхности Земли. Если пренебречь сопротивлением воздуха, любое тело движется с ускорением свободного падения g ≈ 9,8 м/с² независимо от массы. Это позволяет описывать падение, бросок вверх и горизонтальный бросок простыми формулами равноускоренного движения. Главное — выбрать оси, верно определить знаки проекций и рассматривать горизонтальное и вертикальное движение отдельно.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сила тяжести — сила, с которой Земля притягивает тело; вблизи поверхности её модуль равен mg, а направление — вертикально вниз. Здесь m — масса тела, g — ускорение свободного падения. Эта сила объясняет, почему тела падают и почему при броске вверх их движение постепенно замедляется.
Свободное падение — движение тела, на которое действует только сила тяжести; сопротивлением воздуха пренебрегают. Это идеальная модель: в реальности воздух может заметно менять движение лёгких или быстро движущихся тел. Модель позволяет применять простые формулы и сравнивать падение тел разной массы.
Ускорение свободного падения обозначают g; оно направлено вертикально вниз, а у поверхности Земли его значение приблизительно равно 9,8 м/с². Ускорение показывает, насколько быстро меняется скорость тела за единицу времени. Его нужно учитывать при вычислении скорости и перемещения при падении или броске.
Траектория движения — линия, вдоль которой перемещается тело. При горизонтальном броске без сопротивления воздуха траектория имеет форму параболы. Зная её вид и уравнения движения, можно определить положение тела в любой момент.
Если на тело действует только сила тяжести, второй закон Ньютона записывается как mg = ma по направлению вниз. После сокращения массы получается a = g, поэтому тяжёлое тело не приобретает большего ускорения, чем лёгкое. Именно масса одновременно определяет и силу притяжения, и сопротивление тела изменению движения. Это верно в модели без сопротивления воздуха и для тел около поверхности Земли.
Чтобы записывать движение с помощью проекций, удобно направить ось y вертикально вверх. Тогда ускорение направлено против положительного направления оси, поэтому ay = −g. Для равноускоренного движения координата и скорость равны y = y₀ + v₀y t − gt²/2 и vy = v₀y − gt. Знаки в формулах следуют из выбора оси, а не из того, движется тело вверх или вниз.
При броске вверх начальная скорость направлена против силы тяжести, поэтому скорость уменьшается: за каждую секунду её вертикальная проекция меняется на −g. В верхней точке vy становится равной нулю, после чего скорость направлена вниз и по модулю возрастает. Сила тяжести не исчезает ни на мгновение, поэтому ускорение остаётся направленным вниз и равным g. Нулевая скорость в один момент не означает прекращения действия силы.
При горизонтальном броске сила тяжести не имеет горизонтальной проекции, поэтому горизонтальная скорость не меняется. По вертикали тело начинает падать с нулевой начальной вертикальной скоростью и движется с ускорением g. Так как горизонтальная и вертикальная проекции описывают движение вдоль перпендикулярных осей, их можно рассчитывать независимо, используя одно и то же время. Это разделение упрощает поиск времени полёта и дальности.
Для горизонтального броска уравнения имеют вид x = x₀ + v₀t и y = y₀ − gt²/2. Из первого выражения можно выразить время через горизонтальное перемещение: t = (x − x₀)/v₀. Подстановка во второе даёт y = y₀ − g(x − x₀)²/(2v₀²), то есть квадратичную зависимость y от x. График такой зависимости — парабола, поэтому и траектория тела имеет эту форму.
На графике горизонтально брошенного тела координата x растёт, а координата y уменьшается: тело продвигается вперёд и одновременно падает. Кривая показывает положение тела, а не изменение его скорости. Чем дольше длится полёт, тем дальше тело перемещается по горизонтали при постоянной горизонтальной скорости. При этом скорость по вертикали увеличивается по модулю из-за ускорения свободного падения.
| Случай движения | Ускорение | Уравнение координаты | Уравнение скорости |
|---|---|---|---|
| Свободное падение из состояния покоя: v₀ = 0 | ay = −g | y = y₀ − gt²/2 | vy = −gt |
| Вертикальный бросок вверх: ось y направлена вверх | ay = −g | y = y₀ + v₀y t − gt²/2 | vy = v₀y − gt |
| Горизонтальный бросок: ось x горизонтальна, ось y направлена вверх | ax = 0, ay = −g | x = x₀ + v₀t; y = y₀ − gt²/2 | vx = v₀; vy = −gt |
Сначала выберите строку, соответствующую условию задачи, и проверьте, как направлены оси. Затем подставляйте известные значения в уравнения проекций, не забывая о знаках. В горизонтальном броске время для обеих координат одно и то же, хотя сами движения рассчитываются отдельно.
Камень падает без начальной скорости с высоты h = 20 м. Нужно найти время до земли и скорость перед ударом, сопротивление воздуха не учитывается. Направим ось y вверх и примем землю за y = 0, тогда y₀ = 20 м, v₀y = 0, а ускорение равно −g.
Запишем координату: 0 = 20 − gt²/2. Отсюда t = √(40/9,8) ≈ 2,02 с. Берём положительный корень, потому что время после начала падения не может быть отрицательным.
Найдём вертикальную скорость перед ударом по формуле vy = −gt. Получаем vy ≈ −9,8 · 2,02 ≈ −19,8 м/с. Знак минус показывает направление вниз, а модуль скорости равен примерно 19,8 м/с.
Ответ: время падения — около 2,02 с, скорость перед ударом — около 19,8 м/с вниз. Проверить результат можно по формуле перемещения: за это время камень должен пройти 20 м. Округление связано с приближённым значением g.
Начальная скорость мяча равна 19,6 м/с, ось y направим вверх и возьмём точку броска за начало координат. В верхней точке вертикальная скорость равна нулю. Нужно найти момент достижения этой точки и высоту подъёма.
Используем уравнение скорости vy = v₀y − gt и подставим vy = 0. Тогда время подъёма t = v₀y/g = 19,6/9,8 = 2 с. Это время от броска до верхней точки, а не до возвращения мяча.
Подставим найденное время в уравнение координаты: y = 19,6 · 2 − 9,8 · 2²/2 = 19,6 м. Высоту можно также проверить по формуле равноускоренного движения, но координатное уравнение сразу даёт перемещение от точки броска.
Ответ: мяч поднимается 2 с, максимальная высота над точкой броска равна 19,6 м. В верхней точке скорость нулевая, но ускорение остаётся направленным вниз. Поэтому после остановки подъёма мяч начинает падать.
Тело брошено горизонтально со скоростью 10 м/с с высоты 45 м. Требуется найти время до земли и дальность броска, воздухом пренебрегаем. По вертикали начальная скорость равна нулю, а по горизонтали скорость постоянна.
Сначала рассматриваем падение по вертикали: h = gt²/2. Тогда t = √(2h/g) = √(90/9,8) ≈ 3,03 с. Это время полёта определяется высотой, а не горизонтальной скоростью.
По горизонтали тело проходит расстояние L = v₀t. Подставляем значения: L = 10 · 3,03 ≈ 30,3 м. Здесь использовано то же время, что и в расчёте вертикального падения.
Ответ: время полёта — около 3,03 с, дальность — около 30,3 м. Если увеличить горизонтальную скорость при той же высоте, время падения не изменится, но дальность станет больше. Причина в независимости горизонтального и вертикального движений.
Ошибка: считать ускорение в верхней точке равным нулю. Так думают, потому что в этой точке тело на мгновение останавливается по вертикали. Но нулю равна только скорость, а сила тяжести продолжает действовать и создаёт ускорение вниз. Проверьте себя, отдельно записав значения vy и ay: vy = 0, ay = −g.
Ошибка: полагать, что при движении вверх ускорение свободного падения равно нулю. Направление скорости вверх может сбивать с толку, но ускорение определяется действующей силой, а не направлением движения. Сила тяжести направлена вниз и при подъёме, и при падении. Для проверки нарисуйте стрелку силы тяжести: она в обоих случаях направлена к Земле.
Ошибка: ставить g со знаком плюс без учёта выбранной оси. Такое происходит, когда формулу запоминают, но не связывают знак с проекцией ускорения. При оси вверх ay = −g, а при оси вниз проекция будет положительной. Перед вычислением укажите ось и запишите проекцию вектора ускорения.
Ошибка: считать, что сила тяжести меняет горизонтальную скорость при горизонтальном броске. Поскольку сила направлена вертикально, её горизонтальная проекция равна нулю, и vx остаётся постоянной. Ошибку легко проверить, разложив силу тяжести по осям: Fx = 0, следовательно, ax = 0. Изменяется вертикальная составляющая скорости, а не горизонтальная.
Для разбора движения под действием силы тяжести нужны второй закон Ньютона, понятия силы и ускорения, а также умение выбирать оси и находить проекции векторов. Уравнения движения опираются на изученное равноускоренное движение. При броске горизонтальную и вертикальную составляющие описывают отдельно, соединяя их общим временем. Эти знания пригодятся при изучении движения планет и искусственных спутников и при решении задач о телах в поле тяжести.
Почему тяжёлые и лёгкие тела в вакууме падают одинаково?
Сила тяжести больше у более массивного тела, но его инертность тоже больше. По второму закону Ньютона эти изменения компенсируют друг друга, поэтому ускорение равно g и не зависит от массы.
Как меняется ускорение тела, которое сначала бросили вверх, а потом оно начало падать?
Ускорение всё время направлено вертикально вниз и по модулю равно g. При подъёме скорость направлена вверх, при падении — вниз, но направление ускорения не меняется.
Почему скорость в верхней точке равна нулю, а ускорение — нет?
В верхней точке тело на мгновение перестаёт подниматься, поэтому его вертикальная скорость равна нулю. Сила тяжести продолжает действовать, значит, ускорение по-прежнему равно g и направлено вниз.
Как найти дальность полёта тела, брошенного горизонтально?
Сначала по высоте и вертикальному движению находят время падения: при начальной высоте h оно равно √(2h/g). Затем это время умножают на горизонтальную скорость: L = v₀t.
Почему траектория горизонтально брошенного тела имеет форму параболы?
По горизонтали координата растёт пропорционально времени, а по вертикали тело опускается пропорционально квадрату времени. Если исключить время из этих зависимостей, получится квадратичная зависимость координаты y от x — уравнение параболы.
15. Движение под действием силы тяготения
