"Физика (базовый уровень)", Белага В.В., Ломаченков И.А., Панебратцев Ю.А.
Закон всемирного тяготения описывает притяжение любых двух тел и позволяет вычислить силу взаимодействия между ними. Она зависит от масс тел и расстояния между их центрами: чем больше массы, тем сильнее притяжение, а чем дальше тела, тем оно слабее. Закон применяют для расчётов движения планет и спутников, а также при изучении веса и свободного падения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Закон всемирного тяготения утверждает, что любые два тела притягиваются друг к другу. Модуль силы рассчитывают по формуле F = Gm₁m₂/r², где m₁ и m₂ — массы тел, а r — расстояние между ними. Формула нужна, чтобы находить силу взаимодействия, не измеряя её непосредственно.
Гравитационная сила — это сила взаимного притяжения тел, направленная вдоль линии, соединяющей их центры. На каждое тело действует своя сила, поэтому направление у них противоположное. Это помогает понять, как взаимодействуют тела, даже если одно из них намного массивнее другого.
Гравитационная постоянная обозначается G и приблизительно равна 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Она служит коэффициентом пропорциональности: связывает массы и расстояние с величиной силы. Значение G одинаково для любых тел.
Расстояние r в формуле — это расстояние между центрами тел, а не между их поверхностями. Для тел малого размера разницей можно пренебречь, но для крупных тел она может существенно повлиять на ответ. Поэтому сначала нужно определить, от каких точек измеряется расстояние.
Измерения показывают, что при неизменных расстоянии и одной из масс сила растёт вместе с другой массой. Если одну массу увеличить вдвое, притяжение тоже станет вдвое сильнее; то же верно для второй массы. Поэтому в формуле массы перемножаются: F пропорциональна произведению m₁m₂. Эта зависимость учитывает вклад каждого тела в общее взаимодействие.
Зависимость от расстояния проверяют, оставляя массы неизменными и сравнивая силу при разных промежутках. Экспериментальная закономерность такова: сила убывает как квадрат расстояния, то есть F пропорциональна 1/r². При увеличении r в три раза знаменатель становится в девять раз больше, а сила — в девять раз меньше. Именно поэтому недостаточно делить силу просто на число, во сколько раз изменилось расстояние.
Притяжение взаимно: первое тело действует на второе, а второе — на первое. По третьему закону Ньютона силы имеют одинаковый модуль и противоположные направления, хотя приложены к разным телам. Поэтому равенство сил не означает, что тела обязательно движутся одинаково: ускорение зависит также от массы каждого тела. Например, меньшая масса при той же силе получает большее ускорение.
Если размеры тела малы по сравнению с расстояниями в задаче, его удобно считать материальной точкой — телом, размеры и форму которого можно не учитывать. Тогда положение тела задают его центром, а расстояние между телами считают между этими точками. Однородный шар можно рассматривать как точку с массой, сосредоточенной в центре, когда взаимодействие рассматривают снаружи шара. Поэтому для двух таких шаров берут расстояние между их центрами, а не промежуток между поверхностями.
| Обозначение | Физический смысл | Единица СИ | Роль в формуле |
|---|---|---|---|
| F | Модуль силы притяжения | Н | Искомая сила |
| m₁, m₂ | Массы взаимодействующих тел | кг | Сила прямо пропорциональна каждой массе |
| r | Расстояние между центрами тел | м | Сила обратно пропорциональна квадрату расстояния |
| G | Гравитационная постоянная | Н·м²/кг² | Коэффициент пропорциональности |
Перед подстановкой проверь единицы: массы должны быть выражены в килограммах, расстояние — в метрах. Таблица помогает увидеть, какие величины заданы, а какую нужно найти. После расчёта силу записывают в ньютонах.
Два тела массами 2 кг и 3 кг находятся на расстоянии 1 м между центрами. Нужно найти силу притяжения. Поскольку массы небольшие, ожидаемое значение будет очень малым: в формуле участвует крошечная постоянная G. Запишем решение и проверим единицы результата.
Ответ: F ≈ 4,0·10⁻¹⁰ Н.
Расстояние между телами увеличили в 3 раза, массы не изменились. Требуется сравнить новую силу с первоначальной. Массы и G сокращаются при сравнении, поэтому достаточно учесть, что расстояние стоит в знаменателе в квадрате. Это позволяет решить задачу без знания начальной силы.
Ответ: сила уменьшилась в 9 раз.
Нужно найти силу притяжения между однородной планетой массой M и телом массой m у её поверхности. Известны радиус планеты R и масса тела. Планету считаем однородным шаром, а тело — материальной точкой; тогда расстояние между их центрами равно радиусу планеты. Это позволяет использовать обычную формулу закона тяготения.
Ответ: F = GMm/R². Численное значение можно получить, подставив данные конкретной задачи.
Подставлять расстояние между поверхностями тел вместо расстояния между центрами — неверно. Так ошибаются, потому что в бытовом смысле расстоянием считают ближайший промежуток между предметами. Проверь себя: мысленно отметь центры тел и измерь расстояние между ними; для шаров именно его подставляют в закон.
Считать, что при удвоении расстояния сила уменьшается вдвое, — значит забыть квадрат в знаменателе. Ошибка возникает, если запомнить только слова «обратно пропорциональна расстоянию». Проверь результат: новое расстояние нужно возвести в квадрат, поэтому при увеличении вдвое сила становится в четыре раза меньше.
Забывать, что массы входят в формулу произведением, — значит неверно оценивать изменение силы. Иногда ученик учитывает только одну массу или складывает массы вместо их перемножения. Проверь себя: если одну массу умножили на число, при неизменных остальных величинах сила умножается на то же число.
Путать гравитационную постоянную G с силой притяжения F — значит считать постоянный коэффициент искомым результатом. Это происходит из-за того, что обе величины обозначают буквами и указывают в формуле. Проверь смысл и единицы: G всегда примерно 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг², а F зависит от масс и расстояния и измеряется в ньютонах.
Для работы с законом нужны понятия силы, массы и материальной точки, а также умение задавать направление силы. Равенство сил взаимодействия связано с третьим законом Ньютона. Закон всемирного тяготения применяют, изучая движение планет и спутников, вес тел и ускорение свободного падения. Так он связывает механику движения с взаимодействием небесных тел и предметов у поверхности планеты.
Почему тела притягиваются, но мы обычно не замечаем это притяжение?
Сила между обычными предметами очень мала, потому что их массы невелики, а гравитационная постоянная имеет крошечное значение. Заметным притяжение становится, когда хотя бы одно тело обладает огромной массой, например планета.
Почему в формуле расстояние возводится именно в квадрат?
Обратная квадратичная зависимость установлена для гравитационного взаимодействия и подтверждается наблюдениями и измерениями. Поэтому увеличение расстояния в несколько раз ослабляет силу в квадрат этого числа раз.
Какое расстояние подставлять, если тела имеют заметные размеры?
Для тел, которые можно считать материальными точками, берут расстояние между ними. Для однородных шаров используют расстояние между их центрами; у шара и тела рядом с его поверхностью это расстояние равно радиусу шара.
Одинаковы ли силы, с которыми два тела притягивают друг друга?
Да, их модули равны, а направления противоположны. Силы приложены к разным телам, поэтому не уничтожают друг друга.
Чем гравитационная постоянная отличается от силы притяжения?
Гравитационная постоянная G — одно и то же универсальное число в законе тяготения. Сила F зависит от масс тел и расстояния между ними, поэтому для разных пар тел она различается.
14. Закон всемирного тяготения
