19. Равновесие тел с закреплённой осью вращения. Устойчивость равновесия

Определения и обозначения

Момент силы относительно закреплённой оси равен произведению силы на её плечо: M = F · l. Плечо — кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы, то есть прямой, вдоль которой направлена сила. Момент показывает, насколько сильно сила стремится повернуть тело. Его единица измерения — ньютон-метр (Н·м).

Равновесие тела с закреплённой осью — состояние, при котором тело не начинает вращаться. Оно возможно, если суммарные моменты сил, поворачивающих тело в одну сторону, уравновешены суммарными моментами сил, поворачивающих его в другую. Поэтому для проверки равновесия важно учитывать и величины сил, и их плечи. Это условие применяют, например, к рычагу.

Устойчивое равновесие — такое положение, из которого после небольшого отклонения тело стремится вернуться обратно. Значит, возникающее при отклонении действие сил направлено против него. Понятие устойчивости помогает понять, сохранит ли предмет положение при лёгком толчке.

Неустойчивое равновесие при малом отклонении сменяется движением дальше от исходного положения. При безразличном равновесии тело после отклонения остаётся в новом положении равновесия. Сначала тело в обоих случаях может быть неподвижным, поэтому вид равновесия определяют по его поведению после отклонения. Это различие важно при оценке того, легко ли нарушить положение тела.

Как это устроено

Закреплённая ось не даёт телу перемещаться целиком, но позволяет ему поворачиваться. Сила, действующая на некотором расстоянии от оси, создаёт вращательное действие: например, толкать дверцу у края легче, чем рядом с петлями. Причина в том, что при большем расстоянии та же сила сильнее стремится повернуть тело. Поэтому величина силы сама по себе не определяет эффект.

Чтобы найти плечо, сначала проводят линию действия силы через точку её приложения в направлении силы. Затем из оси мысленно опускают перпендикуляр к этой линии и измеряют его длину. Именно это кратчайшее расстояние и входит в формулу момента, а не расстояние до места, где приложена сила. Если сила направлена вдоль рычага и её линия действия проходит через ось, плечо равно нулю и вращательного действия вокруг этой оси она не создаёт.

У каждой силы есть направление вращательного действия: она поворачивает тело либо в одну, либо в противоположную сторону. Когда тело находится в равновесии, вращательное действие в одну сторону должно компенсироваться действием в другую. Поэтому складывают моменты по направлениям и приравнивают их суммы: ΣM₁ = ΣM₂. Так получается условие равновесия; равенства самих сил оно не требует, поскольку плечи могут различаться.

Устойчивость проверяют мысленным или реальным небольшим отклонением тела. Если после него появляется момент, возвращающий тело назад, положение устойчивое; если момент уводит тело ещё дальше, положение неустойчивое. При безразличном равновесии тело не получает причины вернуться или удалиться и остаётся в новом положении. Значит, одного факта неподвижности в исходный момент недостаточно для определения вида равновесия.

Поведение центра тяжести объясняет различия между этими случаями. При устойчивом отклонении центр тяжести поднимается, поэтому потенциальная энергия тела увеличивается; возвращение к исходному положению уменьшает её. При неустойчивом отклонении центр тяжести опускается, а потенциальная энергия уменьшается, и тело продолжает движение от исходного положения. При безразличном равновесии высота центра тяжести не меняется, поэтому новое положение не отличается от прежнего по потенциальной энергии.

Равновесие тела с закреплённой осью и его устойчивость

Сначала определите, что происходит с телом после небольшого отклонения: возвращается ли оно, продолжает ли удаляться или остаётся на новом месте. Затем проверьте, как при этом меняются высота центра тяжести и потенциальная энергия. Эти признаки позволяют различить виды равновесия даже тогда, когда исходное положение тела неподвижно.

Разбор задач

1. Равновесие рычага под действием двух сил

К рычагу с осью в центре приложены перпендикулярные рычагу силы по разные стороны от оси: F₁ = 12 Н на расстоянии 0,20 м и F₂ = 8 Н на расстоянии 0,30 м. Нужно определить, находится ли рычаг в равновесии. Поскольку силы перпендикулярны рычагу, расстояния до оси являются их плечами. Сравним моменты сил, вращающих в противоположные стороны.

1. Находим первый момент: M₁ = 12 · 0,20 = 2,4 Н·м.
2. Находим второй момент: M₂ = 8 · 0,30 = 2,4 Н·м.
3. Моменты равны и направлены противоположно, поэтому их вращательное действие компенсируется.

Ответ: рычаг находится в равновесии. Силы не равны, но меньшая сила приложена на большем расстоянии от оси. Поэтому моменты получились одинаковыми.

2. Поиск силы для равновесия

На закреплённый рычаг действует сила 20 Н под углом 30° к рычагу на расстоянии 0,30 м от оси. Она вращает рычаг против часовой стрелки. Нужно найти перпендикулярную рычагу силу на противоположной стороне, приложенную на расстоянии 0,50 м, чтобы наступило равновесие. Учитываем, что у наклонной силы вращение создаёт только её составляющая, перпендикулярная рычагу.

1. Плечо наклонной силы: l₁ = 0,30 · sin 30° = 0,15 м.
2. Её момент равен M₁ = 20 · 0,15 = 3 Н·м.
3. Для равновесия момент неизвестной силы F должен быть таким же: F · 0,50 = 3 Н·м.
4. Отсюда F = 3 / 0,50 = 6 Н; эта сила должна вращать рычаг по часовой стрелке.

Ответ: нужна сила 6 Н. Её момент уравновесит момент наклонной силы, поскольку плечи и направления вращения учтены отдельно. Если бы силу приложили с другой стороны или направили иначе, следовало бы проверить, в какую сторону она вращает рычаг.

3. Устойчивость опоры и подвеса

Сравним однородное тело, лежащее на горизонтальной опоре, и подвес на закреплённой оси. В первом случае тело лежит устойчиво, а во втором его центр тяжести расположен над осью, то есть подвес перевёрнут. Нужно определить, что произойдёт с каждым телом после небольшого отклонения. Проследим, куда сместится центр тяжести и какое направление приобретёт момент силы тяжести.

1. У тела на опоре при небольшом наклоне центр тяжести поднимается; сила тяжести стремится вернуть тело в исходное положение.
2. У перевёрнутого подвеса центр тяжести при отклонении опускается; сила тяжести поворачивает подвес дальше от исходного положения.
3. Сопоставляем поведение: возвращение означает устойчивость, а увеличение отклонения — неустойчивость.

Ответ: тело на опоре находится в устойчивом равновесии, перевёрнутый подвес — в неустойчивом. Различие можно объяснить и моментом силы тяжести, и изменением высоты центра тяжести. В обоих случаях первоначально неподвижное положение само по себе не говорит о его устойчивости.

Типичные ошибки

Ошибка: считать плечом расстояние от оси до точки приложения силы. Такое расстояние легко заметить на схеме, поэтому его часто принимают за нужное, но при наклонной силе оно не совпадает с плечом. Проверьте себя: проведите линию действия силы и найдите перпендикуляр от оси до неё.

Ошибка: приравнивать силы, не учитывая плечи. Это неверно, потому что большая сила с коротким плечом может создавать тот же момент, что и меньшая с длинным. Перед выводом о равновесии вычислите для каждой силы произведение F · l.

Ошибка: складывать все моменты одинаково, не отмечая направление вращения. Так можно не заметить, что моменты действуют навстречу друг другу или, наоборот, усиливают друг друга. На схеме обозначьте направление каждого поворота, а затем сравните суммы моментов в противоположных направлениях.

Ошибка: считать любое неподвижное положение устойчивым. Тело может быть неподвижно в данный момент, но после малого толчка продолжить отклоняться. Чтобы проверить себя, представьте небольшое смещение и проследите, вернётся ли тело, удалится ли дальше или останется в новом положении.

Связь с другими темами

Для работы с моментами нужны понятия силы, линии действия силы и центра тяжести, а также умение находить расстояние и умножать величины. Условие равновесия помогает решать задачи о рычагах, строительных конструкциях и механизмах: везде важно, как распределено вращательное действие сил. Понятие устойчивости связано с тем, сохранит ли предмет своё положение или потеряет его после отклонения. Оно продолжает изучение равновесия тел и помогает объяснять поведение реальных предметов.

Что запомнить

• Момент силы относительно оси равен произведению силы на её плечо.
• Плечо силы — кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы.
• Тело с закреплённой осью находится в равновесии, когда моменты противоположных направлений уравновешены.
• При устойчивом равновесии малое отклонение вызывает возвращение тела к исходному положению.
• При неустойчивом равновесии малое отклонение удаляет тело от исходного положения.
• При безразличном равновесии после отклонения тело остаётся в новом положении равновесия.