5. Полное внутреннее отражение

Определения и обозначения

Оптически более плотная среда — среда с большим показателем преломления n. При переходе света из неё в менее плотную среду луч отклоняется от перпендикуляра к границе. Это понятие помогает определить, в каком направлении вообще возможно полное внутреннее отражение: показатель преломления падающей среды должен быть больше.

Предельный угол полного внутреннего отражения — угол падения, при котором угол преломления равен 90°, а преломлённый луч идёт вдоль границы сред. Его обозначают αпред. Это граница между обычным преломлением и полным отражением, поэтому найденное значение нужно сравнивать с углом падения.

Полное внутреннее отражение — явление, при котором свет при определённых условиях полностью отражается от границы двух сред и не преломляется во вторую среду. Для него необходимы переход из среды с большим показателем преломления в среду с меньшим и угол падения больше предельного. Это объясняет, почему свет может оставаться внутри волокна.

Угол падения и угол отражения — углы между соответствующими лучами и перпендикуляром к границе в точке падения. Перпендикуляр называют нормалью. Отсчёт от нормали нужен для правильного применения законов отражения и преломления: угол отражения равен углу падения.

Как это устроено

Когда свет переходит из среды с большим показателем преломления n₁ в среду с меньшим показателем n₂, луч преломляется от нормали. Это следует из закона преломления: n₁ sin α = n₂ sin β, где α — угол падения, а β — угол преломления. Поскольку n₁ больше n₂, для равенства синусов угол β должен быть больше α. Поэтому преломлённый луч отклоняется к поверхности границы.

Если плавно увеличивать угол падения, угол преломления тоже будет увеличиваться. При этом луч всё ближе подходит к границе, потому что угол отсчитывается от нормали и становится всё больше. В некоторый момент угол преломления достигает 90°, то есть луч уже не уходит вглубь второй среды. Угол падения, при котором это происходит, и называют предельным.

Для предельного случая в законе преломления подставляют β = 90°. Так как sin 90° = 1, получается n₁ sin αпред = n₂, откуда sin αпред = n₂/n₁ при n₁ > n₂. Если свет выходит в воздух, его показатель преломления обычно принимают равным 1, поэтому синус предельного угла приблизительно равен 1/n₁. Отношение показателей меньше единицы, и по нему можно вычислить угол с помощью арксинуса.

Когда угол падения больше предельного, закон преломления не даёт действительного угла преломления: потребовалось бы, чтобы синус этого угла был больше единицы, а это невозможно. Поэтому преломлённый луч не возникает, и свет целиком отражается обратно в первую среду. При этом отражение подчиняется обычному закону: угол отражения равен углу падения.

В оптическом волокне свет распространяется по сердцевине, показатель преломления которой больше, чем у окружающей оболочки. Лучи, падающие на границу сердцевины и оболочки под достаточно большим углом, испытывают полное внутреннее отражение. Повторяясь много раз, отражения не дают свету выйти наружу, даже когда волокно изгибается в допустимых пределах. Поэтому волокна используют для передачи световых сигналов.

Условия и особенности полного внутреннего отражения

Сначала по первым двум строкам проверьте направление перехода и показатели преломления: без этого сравнение углов не имеет смысла. Затем сопоставьте угол падения с предельным. Равенство предельному углу ещё не означает полного внутреннего отражения.

Разбор задач

Задача 1. Свет идёт из стекла с показателем преломления 1,5 в воздух. Найдите предельный угол полного внутреннего отражения.

1. Определяем показатели: n₁ = 1,5 для стекла, n₂ ≈ 1 для воздуха. Переход идёт из среды с большим показателем в среду с меньшим, значит, предельный угол существует.
2. Используем формулу sin αпред = n₂/n₁. Получаем sin αпред = 1/1,5 ≈ 0,667.
3. Находим угол: αпред = arcsin(0,667) ≈ 41,8°. Округляем до целого градуса, если более высокая точность не требуется.

Ответ: предельный угол примерно равен 42°.

Задача 2. Луч падает из стекла с показателем преломления 1,5 на границу с воздухом под углом 50° к перпендикуляру. Определите, произойдёт ли полное внутреннее отражение.

1. Стекло имеет больший показатель преломления, чем воздух, поэтому направление перехода подходит для полного внутреннего отражения.
2. Для этих сред предельный угол αпред ≈ arcsin(1/1,5) ≈ 41,8°. Сравниваем его с заданным углом: 50° больше 41,8°.
3. Поскольку угол падения превышает предельный, преломлённого луча во второй среде не будет. Свет полностью отразится обратно в стекло.

Ответ: полное внутреннее отражение произойдёт.

Задача 3. Луч идёт из стекла с показателем преломления 1,6 в воду с показателем преломления 1,33. Произойдёт ли полное внутреннее отражение при угле падения 60°?

1. Проверяем направление: 1,6 > 1,33, значит, свет идёт из более плотной среды в менее плотную. Можно вычислять предельный угол.
2. Находим его по формуле sin αпред = 1,33/1,6 ≈ 0,831. Тогда αпред ≈ arcsin(0,831) ≈ 56,2°.
3. Заданный угол 60° больше предельного угла 56,2°. Следовательно, преломлённый луч не возникает, а свет отражается в стекло.

Ответ: полное внутреннее отражение произойдёт.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что полное внутреннее отражение возможно при любом направлении перехода. Условие связано с тем, что при выходе из более плотной среды луч отклоняется от нормали, а угол преломления может достичь 90°. При переходе из воздуха в стекло луч, наоборот, отклоняется к нормали. Проверьте себя: перед расчётом сравните показатели преломления двух сред.

Ошибка: измерять углы от поверхности границы. Так делают потому, что поверхность кажется естественной линией отсчёта, но в законах оптики углы отсчитывают от нормали. Если угол дан к поверхности, его нужно вычесть из 90°. Проверьте, что на схеме или в расчёте указан угол именно между лучом и перпендикуляром.

Ошибка: называть предельным углом угол преломления. Предельный угол — это угол падения, при котором угол преломления равен 90°. Путаница возникает из-за того, что оба угла относятся к одному предельному случаю. Проверьте обозначения в формуле: αпред относится к падающему лучу, а 90° — к преломлённому.

Ошибка: считать, что при угле падения, равном предельному, свет уже целиком отражается. В этот момент преломлённый луч ещё существует и идёт вдоль границы. Полное внутреннее отражение наступает только при угле падения больше предельного. Проверьте знак сравнения: требуется α > αпред, а не α ≥ αпред.

Связь с другими темами

Для понимания явления нужны закон отражения, закон преломления и смысл показателя преломления. Закон преломления позволяет вывести формулу предельного угла, а закон отражения описывает луч после полного внутреннего отражения. Поэтому полезно уметь работать с углами, отсчитываемыми от нормали, и сравнивать показатели преломления сред.

Практическое применение явления — оптические волокна, световоды и некоторые оптические приборы. В волокне многократные отражения направляют свет вдоль сердцевины и помогают передавать сигнал. Так свойства света на границе сред используются для связи на расстоянии.

Что запомнить

• Полное внутреннее отражение возможно при переходе из среды с большим показателем преломления в среду с меньшим.
• Предельный угол соответствует углу преломления 90°.
• Для предельного угла sin αпред = n₂/n₁ при n₁ > n₂.
• При угле падения больше предельного свет полностью отражается.
• Угол отражения равен углу падения.
• Оптические волокна используют многократное полное внутреннее отражение.