Главное в главе III

Определения и обозначения

Гармоническое колебание — периодическое изменение физической величины по закону синуса или косинуса. Амплитуда — наибольшее отклонение величины от равновесного значения, период T — время одного полного колебания, а частота ν — число колебаний за единицу времени: ν = 1/T. Фаза показывает, в каком состоянии находится колебательная система в выбранный момент.

Колебательный контур — замкнутая электрическая цепь из конденсатора и катушки. В нём энергия попеременно запасается в электрическом поле конденсатора и магнитном поле катушки. Такой контур нужен для получения и настройки электромагнитных колебаний.

Резонанс — резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний, когда частота внешнего воздействия совпадает с собственной частотой системы. При этом энергия от источника передаётся особенно эффективно. Явление используют, например, для выбора нужного радиосигнала.

Электромагнитная волна — распространяющееся в пространстве взаимосвязанное изменение электрического и магнитного полей. Эти поля изменяются периодически и поддерживают распространение друг друга. Волна переносит энергию и может передавать информацию.

Как это устроено

Если конденсатор предварительно зарядить, между его обкладками возникнет электрическое поле и появится запас энергии. После соединения с катушкой конденсатор начинает разряжаться, а ток создаёт магнитное поле катушки. По мере разряда электрическая энергия уменьшается, магнитная увеличивается; затем ток по инерции перезаряжает конденсатор, и процесс идёт в обратную сторону.

Собственный период контура определяется индуктивностью L и ёмкостью C, потому что именно они задают свойства накопителей энергии. Чем больше ёмкость, тем больше заряда может накопить конденсатор при данном напряжении, а большая индуктивность сильнее препятствует изменению тока. Формула Томсона имеет вид T = 2π√(LC), где T — период, L — индуктивность катушки, C — ёмкость конденсатора; частота равна ν = 1/T.

Свободные колебания возникают после начального возбуждения и происходят за счёт внутреннего обмена энергией системы. В реальном контуре сопротивление постепенно превращает часть энергии во внутреннюю энергию проводников, поэтому амплитуда уменьшается. Вынужденные колебания поддерживаются внешним периодическим источником, который восполняет потери энергии.

Резонанс появляется, когда частота внешнего воздействия совпадает с собственной частотой контура. Тогда каждое воздействие приходит в подходящий момент и увеличивает колебания, а не ослабляет их. Поэтому амплитуда достигает максимума, ограниченного сопротивлением цепи и возможностями источника.

Переменное электрическое поле порождает магнитное поле, а изменяющееся магнитное поле — электрическое. Благодаря такой взаимосвязи возмущение может удаляться от источника без переноса вещества. Электромагнитная волна переносит энергию, в вакууме движется со скоростью света и используется для радиосвязи, телевидения и беспроводной передачи данных.

Основные характеристики колебательных процессов и электромагнитных волн

Сначала определите, идёт ли речь о колебаниях в системе или о распространении возмущения в пространстве. Затем выберите формулу по известным величинам: для контура используют формулу Томсона, а для волны — v = λν.

Разбор задач

Задача 1

Конденсатор ёмкостью 1 мкФ соединён с катушкой индуктивностью 0,01 Гн. Найдём период и частоту собственных колебаний контура. Важно сначала перевести ёмкость в единицы СИ.

1. Запишем данные: C = 1 мкФ = 1 · 10⁻⁶ Ф, L = 0,01 Гн = 10⁻² Гн.
2. Вычислим произведение: LC = 10⁻² · 10⁻⁶ = 10⁻⁸, поэтому √(LC) = 10⁻⁴ с.
3. По формуле Томсона найдём период: T = 2π√(LC) ≈ 6,28 · 10⁻⁴ с.
4. Частота обратно пропорциональна периоду: ν = 1/T ≈ 1,59 · 10³ Гц.

Ответ: T ≈ 6,28 · 10⁻⁴ с, или 0,628 мс; ν ≈ 1,59 кГц. Проверка показывает, что частота действительно равна величине, обратной периоду.

Задача 2

Колебательный контур настроен на частоту 1 МГц. Требуется определить длину электромагнитной волны в вакууме. Поскольку скорость волны известна, используем связь λ = v/ν.

1. Переведём частоту: ν = 1 МГц = 10⁶ Гц.
2. Для вакуума возьмём скорость электромагнитной волны c ≈ 3 · 10⁸ м/с.
3. Подставим значения: λ = c/ν = (3 · 10⁸)/(10⁶) м.
4. Получим λ = 3 · 10² м = 300 м.

Ответ: длина волны равна 300 м. Чем выше частота при неизменной скорости распространения, тем меньше длина волны.

Задача 3

Радиоприёмник должен выбрать сигнал частотой 5 МГц из нескольких сигналов. Для этого нужно настроить собственную частоту колебательного контура на частоту нужного сигнала. При совпадении частот возникает резонанс, и выбранный сигнал усиливается сильнее остальных.

1. Установим условие настройки: ν₀ = 5 МГц, где ν₀ — собственная частота контура.
2. Используем формулу ν₀ = 1/(2π√(LC)), связывающую частоту с ёмкостью и индуктивностью.
3. Изменим ёмкость конденсатора или индуктивность катушки так, чтобы вычисленная частота стала равна 5 МГц.
4. Если увеличить C или L, частота уменьшится; если уменьшить один из этих параметров, частота возрастёт.

Ответ: настройка выполняется изменением ёмкости конденсатора, индуктивности катушки или обоих параметров до совпадения собственной частоты с частотой 5 МГц.

Типичные ошибки

Период и частоту иногда считают одинаковыми величинами. Период измеряют в секундах и связывают со временем одного цикла, а частоту — в герцах и связывают с числом циклов за секунду. Проверьте себя соотношением ν = 1/T: при увеличении периода частота должна уменьшаться.

В формулу Томсона подставляют ёмкость в микрофарадах или индуктивность в неудобных единицах. Это меняет результат во много раз, потому что формула рассчитана на фарады и генри. Перед вычислением выпишите перевод: 1 мкФ = 10⁻⁶ Ф.

Резонанс ошибочно связывают с любой большой амплитудой. Большая амплитуда может быть вызвана и значительной начальной энергией, но резонанс требует совпадения частоты внешнего воздействия с собственной частотой. Сначала сравните именно частоты, а уже потом оценивайте амплитуду.

Некоторые считают, что электромагнитная волна обязательно нуждается в веществе. Это верно для многих механических волн, но не для электромагнитных: они распространяются и в вакууме. Если задача говорит о вакууме, используйте скорость c, а не свойства воздуха или другого вещества.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны знания о механических колебаниях и волнах, работе конденсатора и катушки, а также о связи периода, частоты и длины волны. Эти идеи помогают перенести знакомую модель колебаний на электрические процессы.

Тема объясняет работу переменного тока, радиопередатчика и радиоприёмника. Резонанс позволяет выделять нужную частоту среди множества сигналов, а электромагнитная волна переносит выбранную информацию.

Дальше эти знания применяются при изучении оптики, электромагнитного излучения, радиолокации и современных средств связи. Свет также относится к электромагнитным волнам, поэтому общие свойства волн сохраняются.

Что запомнить

• В колебательном контуре энергия периодически переходит из электрической формы в магнитную и обратно.
• Собственный период контура определяется формулой T = 2π√(LC).
• Частота и период связаны соотношением ν = 1/T.
• Резонанс возникает при совпадении частоты внешнего воздействия с собственной частотой системы.
• Электромагнитная волна состоит из взаимосвязанных переменных электрического и магнитного полей.
• В вакууме электромагнитные волны распространяются со скоростью света.
• Длина волны, скорость и частота связаны формулой v = λν.