1. Работа поля при перемещении заряда

Определения и обозначения

Работа электрического поля — энергия, которую поле передаёт заряду при его перемещении. Её обозначают A, а измеряют в джоулях (Дж). Работа показывает, сколько энергии поле сообщает заряду или, наоборот, сколько энергии забирает у него.

Однородное электрическое поле — поле, напряжённость которого одинакова по модулю и направлению во всех точках. Напряжённость обозначают E, а действующую на заряд силу находят по формуле F = qE. На положительный заряд сила направлена по полю, а на отрицательный — против поля.

Разность потенциалов между начальной и конечной точками — это φ₁ − φ₂, где φ₁ и φ₂ — потенциалы этих точек. Она показывает, насколько различаются энергетические условия для заряда в начале и конце пути. Через разность потенциалов удобно находить работу поля: A = q(φ₁ − φ₂).

Потенциал электрического поля φ — энергетическая характеристика точки, равная потенциальной энергии пробного заряда, делённой на его заряд: φ = Eₚ/q. Потенциал позволяет описывать поле через энергию, не рассматривая отдельно силу на каждом заряде. Его единица измерения — вольт.

Как это устроено

Работа силы зависит не просто от длины пути, а от того, какая часть силы направлена вдоль перемещения. Если сила постоянна, её проекция на направление перемещения равна F cos α, где α — угол между силой и перемещением. Поэтому A = Fs cos α. При остром угле сила помогает движению и работа положительна, при тупом — мешает и работа отрицательна, а при прямом угле проекция силы равна нулю.

В однородном электрическом поле сила на заряд равна F = qE. Подставляя эту силу в формулу работы, получаем A = qEs cos α. Если перемещение направлено по силе, α = 0° и работа положительна; если против силы, α = 180° и работа отрицательна. При перемещении перпендикулярно силе α = 90°, поэтому поле не совершает работы. Для заряда отрицательного знака направление силы противоположно направлению поля, и угол следует отсчитывать именно от силы.

Электростатическое поле является потенциальным, поэтому работа при перемещении между двумя точками не зависит от формы пути. Причина в том, что вклад поля на отдельных участках траектории определяется начальным и конечным положением заряда, а при обходе замкнутого пути суммарная работа равна нулю. Это позволяет сравнивать перемещения по прямой и по кривой, не вычисляя работу на каждом участке. Важны только точки, между которыми перемещают заряд.

Когда поле совершает положительную работу, заряд получает энергию за счёт уменьшения своей потенциальной энергии. Если потенциальная энергия в начале равна Eₚ₁, а в конце — Eₚ₂, то изменение энергии ΔEₚ = Eₚ₂ − Eₚ₁. Следовательно, A = −ΔEₚ = Eₚ₁ − Eₚ₂. Минус показывает, что работа поля и изменение потенциальной энергии имеют противоположные знаки.

Поскольку потенциал φ = Eₚ/q, энергии начального и конечного положений равны qφ₁ и qφ₂. Вычитая конечную энергию из начальной, получаем A = qφ₁ − qφ₂ = q(φ₁ − φ₂). Знак работы зависит и от знака заряда, и от того, как меняется потенциал при перемещении. Например, одинаковая разность потенциалов даёт противоположные знаки работы для зарядов разных знаков.

Работа электрического поля при разных перемещениях

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите направление силы именно на данный заряд, а затем сравните его с направлением перемещения. Для произвольной траектории не нужно искать один общий угол: работа всё равно зависит только от начальной и конечной точек. Изменение потенциальной энергии всегда противоположно по знаку работе поля.

Разбор задач

Задача 1

Заряд 2 мкКл перемещают на 0,3 м вдоль однородного поля напряжённостью 500 Н/Кл. Найдите работу поля. Слово «вдоль» означает, что перемещение направлено по полю, а для положительного заряда — по силе. Поэтому угол α равен нулю и cos α = 1.

1. Запишем формулу: A = qEs cos α.
2. Переведём заряд в кулоны: 2 мкКл = 2 · 10⁻⁶ Кл.
3. Подставим величины: A = 2 · 10⁻⁶ · 500 · 0,3 · 1 = 3 · 10⁻⁴ Дж. Проверка единиц: Кл · Н/Кл · м = Н · м = Дж.

Ответ: A = 3 · 10⁻⁴ Дж.

Задача 2

Отрицательный заряд перемещают против направления однородного поля. Определите знак работы поля и объясните ответ. Нельзя сразу сравнивать перемещение с направлением поля: сила на отрицательный заряд не совпадает с направлением поля. Сначала нужно определить силу, а уже затем выяснить, помогает ли она движению.

1. На отрицательный заряд сила действует против поля.
2. Перемещение тоже направлено против поля, значит, оно совпадает с направлением силы.
3. При совпадении силы и перемещения работа положительна: A = Fs cos 0° > 0.

Ответ: работа поля положительна, так как сила и перемещение направлены одинаково.

Задача 3

Заряд 4 нКл переместился между точками с разностью потенциалов 120 В. Найдите работу поля и изменение потенциальной энергии. Условие не уточняет, какая точка имеет больший потенциал, поэтому примем, что перемещение совершено из точки 1 в точку 2 и φ₁ − φ₂ = 120 В. Если порядок потенциалов обратный, знаки ответов тоже изменятся.

1. Переведём заряд: q = 4 нКл = 4 · 10⁻⁹ Кл.
2. Используем связь работы и разности потенциалов: A = q(φ₁ − φ₂) = 4 · 10⁻⁹ · 120 = 4,8 · 10⁻⁷ Дж.
3. Изменение потенциальной энергии равно ΔEₚ = −A, поэтому ΔEₚ = −4,8 · 10⁻⁷ Дж. Проверка: при положительной работе потенциальная энергия должна уменьшиться.

Ответ: A = 4,8 · 10⁻⁷ Дж, ΔEₚ = −4,8 · 10⁻⁷ Дж при указанном порядке потенциалов.

Типичные ошибки

• Подстановка в A = qEs перемещения под любым углом даёт неверный результат, потому что формула без косинуса не учитывает проекцию силы. Так ошибаются, когда запоминают упрощённую запись и забывают условие её применения. Проверьте угол: в общем случае нужен множитель cos α.

• Считать работу поля положительной при любом движении неправильно: знак определяется взаимным направлением силы и перемещения. Часто работу путают с самой величиной перемещения, которая всегда положительна. Для проверки сравните направления: по силе — плюс, против силы — минус.

• Направлять силу на отрицательный заряд по полю — ошибка, потому что направление поля задано для положительного пробного заряда. Это заблуждение возникает, когда направление поля принимают за направление любой электрической силы. Проверьте знак q в формуле F = qE: отрицательный заряд меняет направление силы на противоположное.

• Приравнивать работу поля к приращению потенциальной энергии нельзя: работа равна убыли энергии, A = −ΔEₚ. Ошибку допускают, не учитывая, что энергия, отданная полем, уменьшается у заряда. Самопроверка: если работа положительна, потенциальная энергия должна стать меньше.

Связь с другими темами

Для изучения работы поля нужны понятия электрического заряда, напряжённости и силы, действующей на заряд: без них нельзя определить направление и величину силы. Связь работы с потенциальной энергией пригодится при изучении закона сохранения энергии и движения заряженных частиц. Разность потенциалов станет основой для понимания напряжения, конденсаторов и электрических цепей. Так энергетическое описание связывает свойства поля с поведением зарядов в устройствах.

Что запомнить

• Работа поля в однородном поле равна A = qEs cos α.
• Работа зависит от заряда, напряжённости, перемещения и угла между силой и перемещением.
• При движении по направлению силы работа положительна, против силы — отрицательна.
• При перемещении перпендикулярно силе работа равна нулю.
• Работа электростатического поля не зависит от траектории.
• Работа поля равна убыли потенциальной энергии заряда.
• Работа связана с разностью потенциалов формулой A = q(φ₁ − φ₂).