§ 28. Работа электрического поля. Разность потенциалов (напряжение)

Определения и обозначения

Работа электрического поля — работа сил поля при перемещении заряда. Её обозначают A и измеряют в джоулях (Дж). Работа показывает, сколько энергии поле передаёт заряду или отбирает у него.

Потенциал электрического поля φ в точке равен потенциальной энергии заряда в этой точке, делённой на заряд: φ = Eп/q. Потенциал измеряют в вольтах (В). Он позволяет описать энергетическое состояние точки поля, не привязываясь к конкретному значению заряда.

Разность потенциалов между точками 1 и 2 равна φ₁ − φ₂. Она характеризует работу поля при перемещении единичного положительного заряда из первой точки во вторую. По разности потенциалов можно понять, насколько изменится энергия заряда при таком перемещении.

Напряжение U между точками равно разности их потенциалов: U = φ₁ − φ₂. Для заряда q работа поля связана с напряжением формулой U = A/q. Напряжение также измеряется в вольтах и показывает работу поля в расчёте на единицу заряда.

Как это устроено

Электростатическое поле называют потенциальным, потому что работа его сил не зависит от формы траектории заряда. Если заряд переместился между одними и теми же точками, работа будет одинаковой и по прямому пути, и по сложному. Причина в том, что работа связана с энергией, определяемой положением заряда, а не пройденным маршрутом. Поэтому для её вычисления достаточно знать начальную и конечную точки.

Когда поле совершает положительную работу, оно передаёт энергию заряду, а потенциальная энергия системы уменьшается. Изменение потенциальной энергии равно Eп₂ − Eп₁, поэтому работа поля A = Eп₁ − Eп₂. Иными словами, работа равна убыли потенциальной энергии. Если энергия после перемещения стала больше, работа поля отрицательна.

Из определения потенциала следует, что Eп₁ = qφ₁ и Eп₂ = qφ₂. Подставим эти выражения в формулу работы: A = Eп₁ − Eп₂ = qφ₁ − qφ₂ = q(φ₁ − φ₂). Знак работы зависит не только от того, куда перемещается заряд, но и от знака q. Для отрицательного заряда сила направлена противоположно напряжённости поля, поэтому нельзя считать, что такой заряд всегда движется в сторону уменьшения потенциала.

Разность потенциалов для перемещения из точки 1 в точку 2 равна U = φ₁ − φ₂, поэтому A = qU и U = A/q. Значит, напряжение показывает работу поля, приходящуюся на единицу заряда. Если поле совершает работу 1 Дж над зарядом 1 Кл, напряжение между точками равно 1 В. Отсюда единица напряжения: 1 В = 1 Дж/Кл.

В однородном поле сила, действующая на заряд, постоянна по величине и направлению. Работа постоянной силы равна произведению силы на перемещение и на косинус угла между ними; для электрического поля получается A = qEd cos α. Здесь E — напряжённость поля, d — перемещение, а α — угол между направлением поля и перемещением. При движении вдоль поля α = 0°, поэтому A = qEd; если перемещение перпендикулярно полю, работа равна нулю.

Работа, потенциал и напряжение: определения и единицы

Сначала определите, какую величину нужно найти, и выберите соответствующую строку. Для работы проверьте, известны ли заряд и разность потенциалов; для напряжения — известны ли потенциалы или работа и заряд. Перед вычислениями переводите значения в единицы СИ.

Разбор задач

Задача 1. Заряд 2 мКл перемещается между точками с разностью потенциалов 5 В. Найдём работу поля. Здесь дана разность потенциалов, поэтому используем A = qU; важно перевести милли-кулоны в кулоны.

1. Переведём заряд: q = 2 мКл = 2 · 10⁻³ Кл.
2. Подставим данные в формулу: A = qU = 2 · 10⁻³ · 5 = 0,01 Дж.
3. Поскольку заряд положительный, знак работы совпадает со знаком заданного U = φ₁ − φ₂ и получается положительным.

Ответ: A = 0,01 Дж.

Задача 2. Заряд −3 мкКл перемещается из точки с потенциалом 12 В в точку с потенциалом 4 В. Начальной является точка 1 с потенциалом 12 В, конечной — точка 2 с потенциалом 4 В. Подставляем именно в этом порядке в формулу A = q(φ₁ − φ₂), не теряя знак заряда.

1. Переведём заряд: q = −3 мкКл = −3 · 10⁻⁶ Кл.
2. Найдём разность потенциалов: φ₁ − φ₂ = 12 − 4 = 8 В.
3. Вычислим работу: A = (−3 · 10⁻⁶) · 8 = −24 · 10⁻⁶ Дж = −24 мкДж.

Ответ: A = −24 мкДж. Отрицательный знак означает, что при таком перемещении потенциальная энергия заряда увеличивается: сила поля направлена против перемещения отрицательного заряда.

Задача 3. Заряд 4 мкКл перемещается в однородном поле напряжённостью 2 кВ/м на 30 см под углом 60° к направлению поля. Найдём работу через проекцию перемещения на направление поля, а затем напряжение как работу на единицу заряда. Перевод величин в СИ необходим, чтобы получить ответ в джоулях и вольтах.

1. Переведём величины: q = 4 · 10⁻⁶ Кл, E = 2 · 10³ В/м, d = 0,30 м.
2. Используем проекцию: A = qEd cos α = 4 · 10⁻⁶ · 2 · 10³ · 0,30 · cos 60° = 1,2 · 10⁻³ Дж.
3. Найдём напряжение: U = A/q = 1,2 · 10⁻³/(4 · 10⁻⁶) = 300 В.

Ответ: A = 1,2 · 10⁻³ Дж; U = 300 В. Положительная работа получилась потому, что положительный заряд перемещается частично в направлении поля.

Типичные ошибки

• Считать, что работа зависит от траектории. Так думают, сравнивая с обычным расстоянием, которое тело проходит по пути. В электростатическом поле сравните начальную и конечную точки: если они те же, работа поля та же.

• Менять местами начальную и конечную точки в A = q(φ₁ − φ₂). Это меняет знак разности потенциалов и, следовательно, знак работы. Чтобы проверить себя, подпишите точки 1 и 2 на черновике и соблюдайте порядок «начальная минус конечная».

• Не учитывать знак заряда. Ошибка возникает, если направление силы для любого заряда принимают таким же, как направление напряжённости. Для отрицательного заряда сила направлена противоположно E; проверьте знак q в подстановке и согласуйте его с направлением движения.

• Путать потенциал и напряжение. Потенциал описывает одну точку, а напряжение сравнивает две точки; иногда это смешивают из-за одинаковой единицы измерения. Проверьте, сколько точек задано: для одной используют φ, для пары — разность φ₁ − φ₂.

Связь с другими темами

Для понимания работы поля нужны знания о работе силы, потенциальной энергии и законе сохранения энергии. Эти понятия объясняют, почему работа связана с изменением энергии, а не с длиной траектории. При решении задач полезно применять знакомую формулу работы постоянной силы.

Закон Кулона помогает описывать взаимодействие зарядов и силу, с которой поле действует на заряд. Напряжённость E характеризует силу, приходящуюся на единичный заряд, и задаёт направление действия поля на положительный заряд. В однородном поле эти знания приводят к формуле A = qEd cos α.

Потенциал и напряжение понадобятся при изучении электрических цепей: напряжение характеризует энергетическую передачу зарядам между участками цепи. Эти величины также используют в задачах о движении заряженных частиц. Связь A = qU позволяет находить изменение энергии частицы, если известны её заряд и напряжение.

Что запомнить

• Работа электростатического поля не зависит от формы траектории.
• Работа поля равна убыли потенциальной энергии заряда.
• A = q(φ₁ − φ₂).
• Напряжение между точками равно разности их потенциалов.
• U = A/q; единица напряжения — вольт.
• В однородном поле A = qEd cos α, где α — угол между полем и перемещением.