§ 53. Работа электрического поля. Разность потенциалов (напряжение)

Определения и обозначения

Работа электрического поля — работа силы поля при перемещении заряда из одной точки в другую; её обозначают A. Она показывает, сколько энергии поле передало заряду или отдало ему при движении. Работа может быть положительной, отрицательной или равной нулю. Это понятие нужно, чтобы описывать действие поля не только силой, но и изменением энергии.

Разность потенциалов между двумя точками характеризует изменение потенциала при переходе из одной точки в другую. Для точек 1 и 2 её записывают как φ₁ − φ₂; она связана с работой поля при перемещении заряда. Потенциал показывает энергетическую характеристику точки, а разность потенциалов — изменение этой характеристики между точками. Благодаря этому можно находить работу, не прослеживая весь путь заряда.

Напряжение — разность потенциалов между двумя точками, обозначаемая U. Для перехода из точки 1 в точку 2 используют обозначение U₁₂ = φ₁ − φ₂. Напряжение показывает, сколько работы поле совершает на единицу положительного заряда при таком переходе. Эта величина позволяет сравнивать электрические состояния разных точек и рассчитывать работу.

Электрон-вольт — внесистемная единица энергии, равная работе поля при перемещении элементарного заряда при разности потенциалов 1 В. Её обозначают эВ, причём 1 эВ = 1,6 · 10⁻¹⁹ Дж. Электрон-вольты удобны для описания энергий отдельных электронов и других микрочастиц. Для расчётов в системе СИ энергию переводят в джоули.

Как это устроено

Электростатическое поле называют потенциальным, потому что работа сил поля по замкнутому пути равна нулю. Если заряд вернулся в исходную точку, его потенциальная энергия не изменилась, поэтому поле не может суммарно передать ему энергию за такой обход. Отсюда следует, что работа между двумя точками не зависит от выбранного пути. Её определяют только начальное и конечное положения заряда.

Работа поля связана с зарядом и напряжением формулой A₁₂ = qU₁₂. Напряжение показывает работу на единицу положительного заряда, а заряд q задаёт, сколько таких единиц переносится. В формулу подставляют заряд со знаком: положительный заряд сохраняет знак работы, который задаёт U, а отрицательный меняет его на противоположный. Поэтому модуль заряда нельзя использовать без проверки знака.

В однородном поле сила, действующая на заряд, постоянна, поэтому работа равна произведению силы на проекцию перемещения вдоль неё. С учётом направления заряда это записывают как A = qEd cos α, где E — напряжённость, d — длина перемещения, α — угол между перемещением и полем. Если положительный заряд движется вдоль поля, α = 0° и A = qEd. При движении поперёк поля проекция равна нулю, поэтому работа поля не совершается.

Из формулы A = qU следует U = A/q: напряжение равно работе поля, приходящейся на единицу заряда. Единицей служит вольт, поскольку 1 В = 1 Дж/Кл. Это объясняет, почему напряжение можно понимать как энергетическую характеристику перехода между точками. При расчётах знак U связан с выбранным порядком точек: U₁₂ = φ₁ − φ₂.

Когда поле совершает положительную работу, потенциальная энергия заряда уменьшается; когда работа отрицательна, энергия увеличивается. Это выражается формулой A = −ΔEп, где ΔEп — изменение потенциальной энергии. Знак «минус» нужен потому, что энергия, переданная полем заряду, берётся из его потенциальной энергии. Работа и изменение энергии равны по модулю, но имеют противоположные знаки.

Работа поля и напряжение: обозначения, формулы и единицы

Сначала выбери направление перехода между точками: от него зависит знак U. Затем используй формулу, соответствующую условию, и подставляй значения в согласованных единицах. Если дана напряжённость и перемещение в однородном поле, учитывай угол между ними.

Разбор задач

Задача 1. Заряд 2 мкКл переместили между точками с напряжением 12 В. Найдём работу поля, считая, что задано U для выбранного направления перехода. В условии не сказано, положительный ли это заряд, поэтому принимаем q = +2 мкКл. Если направление соответствовало бы противоположному напряжению, знак работы изменился бы.

1. Запишем связь работы и напряжения: A = qU.
2. Переведём заряд в СИ: q = 2 · 10⁻⁶ Кл.
3. Подставим значения: A = 2 · 10⁻⁶ · 12 = 24 · 10⁻⁶ Дж.

Ответ: A = 24 мкДж при U = +12 В и положительном заряде. При отрицательном заряде или противоположном направлении перехода знак работы был бы другим.

Задача 2. Заряд 3 нКл перемещают в однородном поле напряжённостью 2 кВ/м на 5 см под углом 60° к направлению поля. Требуется найти работу поля. Используем проекцию перемещения на направление поля: именно она определяет работу постоянной силы. Считаем заряд положительным, поскольку его знак отдельно не указан.

1. Запишем формулу: A = qEd cos α.
2. Переведём единицы: q = 3 · 10⁻⁹ Кл, E = 2 · 10³ В/м, d = 0,05 м, cos 60° = 0,5.
3. Вычислим: A = 3 · 10⁻⁹ · 2 · 10³ · 0,05 · 0,5 = 1,5 · 10⁻⁷ Дж.

Ответ: A = 1,5 · 10⁻⁷ Дж, или 0,15 мкДж. При отрицательном заряде работа имела бы противоположный знак.

Задача 3. Поле совершило работу −8 мкДж при перемещении заряда −2 мкКл из точки 1 в точку 2. Нужно найти U₁₂ = φ₁ − φ₂ и объяснить его знак. Поскольку работа и заряд оба отрицательны, их отношение положительно. Используем определение напряжения через работу на единицу заряда.

1. Выразим напряжение из формулы A₁₂ = qU₁₂: U₁₂ = A₁₂/q.
2. Подставим значения в одних единицах: U₁₂ = (−8 · 10⁻⁶)/(−2 · 10⁻⁶) = 4 В.
3. Знак плюс означает, что φ₁ больше φ₂ на 4 В. Отрицательный заряд перемещается в направлении, при котором поле совершает над ним отрицательную работу.

Ответ: U₁₂ = +4 В. Напряжение положительно, потому что работа и заряд имеют одинаковые знаки.

Типичные ошибки

Считать, что работа зависит от траектории, — значит переносить на электростатическое поле свойства сил, для которых это возможно. Ошибка возникает, когда внимание сосредоточено на длине пути, а не на начальной и конечной точках. Проверь себя: если точки те же, работа электростатического поля та же, даже при другой траектории. Для замкнутого пути она равна нулю.

Подстановка модуля заряда вместо q стирает информацию о знаке работы. Так делают, когда воспринимают заряд только как положительное число. Проверь знак заряда и напряжения до вычислений, затем убедись, что знак результата соответствует формуле A = qU. Особенно внимательно работай с электронами и другими отрицательно заряженными частицами.

Если в однородном поле забыть угол α, можно ошибочно считать, что всё перемещение направлено вдоль поля. Это происходит, когда в формуле замечают длину пути, но не учитывают направление силы. Проверь, взята ли проекция d cos α: поперёк поля работа равна нулю, а против поля меняет знак. Формула A = qEd применима только при движении вдоль поля, когда cos α = 1.

Путать работу поля с изменением потенциальной энергии — значит потерять знак «минус». Это часто случается, потому что обе величины описывают передачу энергии и измеряются в джоулях. Проверь соотношение A = −ΔEп: при положительной работе поля потенциальная энергия убывает. Значения равны по модулю, но не по знаку.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, как вычисляют работу силы, что такое электрический заряд и напряжённость поля. Понятие потенциальной энергии помогает объяснить, откуда берётся работа поля и почему A = −ΔEп. Напряжение и работа понадобятся при изучении электрического потенциала, энергии заряженных частиц и конденсаторов. В электрических цепях напряжение связывает энергетические изменения заряда с работой электрического поля.

Что запомнить

• Работа электростатического поля не зависит от траектории перемещения заряда.
• Работа поля при перемещении заряда между точками равна A = qU.
• Напряжение — это разность потенциалов между двумя точками.
• В однородном поле A = qEd cos α.
• Работа поля равна убыли потенциальной энергии: A = −ΔEп.
• Единица напряжения — вольт; 1 В = 1 Дж/Кл.