§ 53. Работа электрического поля. Разность потенциалов (напряжение)

Определения и обозначения

Работа электрического поля — это работа сил поля при перемещении заряда; её обозначают буквой A. Положительная работа означает, что сила поля передаёт заряду энергию, а отрицательная — что поле забирает энергию. Знак работы помогает понять, ускоряет поле заряд или препятствует его движению.

Потенциал электрического поля φ — это потенциальная энергия пробного положительного заряда, отнесённая к величине этого заряда: φ = W/q. Он характеризует энергетическое состояние одной точки поля, а не конкретного заряда. Нулевой уровень потенциальной энергии выбирают условно, поэтому физический смысл обычно имеет не отдельный потенциал, а разность потенциалов.

Разность потенциалов между начальной точкой 1 и конечной точкой 2 равна φ₁ − φ₂. Она показывает работу поля при перемещении единичного положительного заряда из первой точки во вторую. Поэтому разность потенциалов связывает энергетические свойства точек с реально совершаемой работой.

Напряжение U — величина, равная отношению работы электрического поля к перемещаемому заряду: U₁₂ = A₁₂/q. В электростатическом поле напряжение между двумя точками совпадает с разностью их потенциалов. Напряжение характеризует именно пару точек, а не одну точку отдельно.

Как это устроено

При перемещении заряда электрическое поле может изменить его потенциальную энергию. Если энергия уменьшается, её убыль переходит в работу поля: A = W₁ − W₂. Поэтому заряд самопроизвольно движется так, чтобы сила поля совершала положительную работу, хотя внешняя сила может заставлять его двигаться иначе.

В однородном поле сила, действующая на заряд, по модулю равна F = |q|E, а при учёте знака заряда её направление определяется знаком q. Работа постоянной силы равна произведению силы на проекцию перемещения вдоль силы. Поэтому для заряда записывают A = qEd cos α, где α — угол между перемещением и направлением поля, выбранным для положительного заряда.

Электростатическое поле является потенциальным, поэтому его работа определяется изменением потенциальной энергии. При движении по кривому пути отдельные участки могут давать разные вклады, но их сумма зависит только от начальной и конечной точек. Именно поэтому одинаковый заряд между одними и теми же точками переносится с одной и той же работой независимо от траектории.

Разделив работу поля A₁₂ на перенесённый заряд q, получаем U₁₂ = A₁₂/q. Так как A₁₂ = W₁ − W₂, а W = qφ, следует U₁₂ = φ₁ − φ₂. Если q положителен и движется по направлению поля, работа обычно положительна; для отрицательного заряда знак меняется, а единицей напряжения служит вольт: 1 В = 1 Дж/Кл.

Работа электрического поля и напряжение

Таблица позволяет быстро отличить величину, относящуюся к конкретному перемещению, от величины, характеризующей две точки поля. При решении задачи сначала определите, что дано: работа и заряд или разность потенциалов. Затем выберите формулу и проверьте единицы.

Разбор задач

Задача 1. Заряд q = 2 мкКл перемещается вдоль линий однородного поля на расстояние d = 4 см. Напряжённость поля E = 3·10⁴ Н/Кл. Найдём работу поля, считая заряд положительным.

1. Переведём величины в СИ: q = 2·10⁻⁶ Кл, d = 0,04 м.
2. Перемещение направлено вдоль поля, поэтому α = 0 и cos α = 1.
3. Подставим данные: A = qEd = 2·10⁻⁶ · 3·10⁴ · 0,04 = 2,4·10⁻³ Дж.

Ответ: A = 2,4 мДж. Для отрицательного заряда при том же перемещении работа имела бы противоположный знак.

Задача 2. Поле совершило работу A = 0,6 Дж при переносе заряда q = 0,02 Кл из точки 1 в точку 2. Определим напряжение U₁₂ между точками.

1. Используем определение напряжения: U₁₂ = A₁₂/q.
2. Подставим значения в единицах СИ: U₁₂ = 0,6/0,02 = 30 В.
3. Положительный результат означает, что при переносе положительного заряда в выбранном направлении поле совершило положительную работу.

Ответ: U₁₂ = 30 В.

Задача 3. Заряд q = 3 мКл перемещают между двумя точками, напряжение между которыми U₁₂ = 120 В, по двум разным траекториям. Сравним работу поля и найдём работу внешней силы при медленном перемещении.

1. Работа поля не зависит от пути, поэтому для обеих траекторий A₁₂ = qU₁₂.
2. Получаем A₁₂ = 3·10⁻³ · 120 = 0,36 Дж.
3. При медленном перемещении кинетическая энергия не изменяется, поэтому работа внешней силы компенсирует работу поля: Aвнеш = −A₁₂ = −0,36 Дж.

Ответ: работа поля на обеих траекториях равна 0,36 Дж, а работа внешней силы — −0,36 Дж.

Типичные ошибки

Ошибка: считать работу поля всегда положительной. Её знак зависит от направления силы относительно перемещения и от знака заряда. Проверьте себя по формуле A = qEd cos α: знак задают q и cos α.

Ошибка: подставлять в A = qEd любое полное перемещение. Формула без косинуса применима только при движении вдоль поля. Если направление другое, используйте проекцию d cos α.

Ошибка: путать потенциал с напряжением. Потенциал относится к одной точке, а напряжение — к двум точкам и их разности. В записи должны присутствовать индексы точек, например U₁₂.

Ошибка: считать, что при изменении траектории меняется работа электростатического поля. Для одних и тех же начальной и конечной точек она остаётся прежней. Проверьте, что поле именно электростатическое и точки не изменились.

Связь с другими темами

Для изучения работы поля нужны понятия работы силы, потенциальной энергии, электрического заряда и напряжённости поля. Работа связывает механическое описание движения с энергетическим, а напряжённость показывает действие поля на заряд.

Напряжение станет основным понятием при изучении электрического тока и цепей. Его используют при описании источников тока, закона Ома и измерений вольтметром.

Что запомнить

• Работа электростатического поля при перемещении заряда не зависит от траектории.
• Работа поля равна убыли потенциальной энергии заряда.
• В однородном поле A = qEd cos α.
• Разность потенциалов между точками равна работе поля на единицу перемещаемого заряда.
• Для электростатического поля U₁₂ = φ₁ − φ₂.
• Один вольт равен одному джоулю на кулон.