§ 17. Равновесие жидкости и газа

Определения и обозначения

Давление — физическая величина, равная силе, направленной перпендикулярно поверхности, делённой на площадь этой поверхности: p = F/S. Давление измеряют в паскалях: 1 Па = 1 Н/м². Эта величина показывает, насколько сильно распределено действие силы: одна и та же сила создаёт большее давление на меньшей площади.

Гидростатическое давление — давление неподвижной жидкости, возникающее из-за веса её слоёв. На глубине h оно равно p = ρgh, где ρ — плотность жидкости, а g — ускорение свободного падения. Формула позволяет определить давление в точке, если известна глубина под свободной поверхностью.

Атмосферное давление — давление, которое оказывает воздух благодаря своему весу. Воздух окружает тела, поэтому атмосферное давление действует на них со всех сторон. Учёт этого давления нужен, например, когда сравнивают показания прибора с давлением внутри сосуда.

Сообщающиеся сосуды — соединённые между собой сосуды, по которым жидкость может перетекать из одного в другой. Если уровни жидкости создают неодинаковое давление в месте соединения, жидкость движется. Поэтому понятие сообщающихся сосудов помогает описать условия равновесия жидкостей.

Как это устроено

В покоящейся жидкости нижние слои поддерживают вес тех, что находятся над ними. Поэтому давление в выбранной точке связано с весом столба жидкости от свободной поверхности до этой точки. Чем глубже точка, тем выше этот столб и тем больше его вес, а значит, тем сильнее давление.

Выведем формулу для столба жидкости высотой h и площадью основания S. Его объём равен Sh, масса — ρSh, а вес — ρShg. Давление на основание равно весу, делённому на площадь: p = ρShg/S = ρgh; площадь сокращается, поэтому при одинаковой глубине результат не зависит от ширины столба.

На одном горизонтальном уровне однородной неподвижной жидкости давление одинаково. Если бы в двух точках этого уровня оно различалось, жидкость испытывала бы неуравновешенное действие и начала бы перемещаться из области большего давления в область меньшего. Перетекание продолжалось бы, пока разность давлений не исчезла бы.

В сообщающихся сосудах с одной и той же жидкостью равные уровни означают равные глубины и, следовательно, одинаковые давления в соединении. При одинаковом давлении над поверхностями уровни устанавливаются на одной высоте: иначе возникла бы разность давлений и жидкость перетекала бы. Для разных жидкостей сравнивают столбы над общим уровнем: ρ₁gh₁ = ρ₂gh₂, поэтому более плотной жидкости требуется меньшая высота столба.

Газ, как и жидкость, имеет вес, поэтому воздух давит на поверхность Земли и создаёт атмосферное давление. Давление газа передаётся во все стороны, а в сообщающемся с атмосферой сосуде внешнее давление действует и на свободную поверхность жидкости. Тогда полное давление на глубине складывается из внешнего давления и гидростатической добавки: pполное = pвнешнее + ρgh.

Давление и равновесие жидкостей и газов

Сначала определите, о каком давлении идёт речь: о приложенной силе на поверхности или о давлении внутри жидкости. Затем выберите формулу и проверьте, учтено ли внешнее давление. Для равновесия в сообщающихся сосудах сравнивайте давления на одном горизонтальном уровне.

Разбор задач

Задача 1. На какой глубине в воде гидростатическое давление равно 196 кПа? Плотность воды 1000 кг/м³, ускорение свободного падения g = 9,8 м/с². Ищем глубину, создающую именно указанное гидростатическое давление, без атмосферной добавки.

1. Записываем зависимость гидростатического давления: p = ρgh.
2. Выражаем неизвестную глубину: h = p/(ρg). Давление переводим в паскали: 196 кПа = 196 000 Па.
3. Подставляем значения: h = 196 000/(1000 · 9,8) = 20 м. Проверка по размерности даёт метры, как и должно быть для глубины.

Ответ: глубина равна 20 м. Если в условии было бы дано полное давление, следовало бы отдельно выяснить, включает ли оно атмосферное давление.

Задача 2. Найдите разность давлений между точками воды, расположенными на глубинах 2 м и 7 м. Плотность воды равна 1000 кг/м³, g = 9,8 м/с². Важно не вычислять оба давления целиком, если нужна только их разность.

1. На глубине h давление равно ρgh, поэтому при вычитании давлений общая часть, связанная с внешним давлением, сокращается.
2. Разность глубин составляет Δh = 7 м − 2 м = 5 м. Используем Δp = ρgΔh.
3. Подставляем данные: Δp = 1000 · 9,8 · 5 = 49 000 Па = 49 кПа. Более глубокая точка имеет большее давление.

Ответ: разность давлений равна 49 кПа.

Задача 3. В сообщающихся сосудах находятся две несмешивающиеся жидкости. Плотность первой жидкости 800 кг/м³, высота её столба 30 см; плотность второй — 1200 кг/м³. Найдите высоту второго столба, если давление над обеими свободными поверхностями одинаково.

1. Выбираем общий горизонтальный уровень в области соединения. Давления на нём должны быть равны, иначе жидкость пришла бы в движение.
2. Поскольку внешнее давление одинаково, его можно сократить. Получаем ρ₁gh₁ = ρ₂gh₂ и выражаем высоту: h₂ = ρ₁h₁/ρ₂.
3. Подставляем: h₂ = 800 · 30/1200 = 20 см. Более плотная жидкость имеет меньшую высоту столба, что согласуется с равновесием.

Ответ: высота столба второй жидкости равна 20 см.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что гидростатическое давление зависит от формы сосуда или общего объёма жидкости. Так думают, потому что в широком и узком сосуде количество жидкости может быть разным. Проверьте формулу p = ρgh: при одинаковых плотности и глубине давление одинаково.

В формулу p = ρgh иногда подставляют высоту всего сосуда. Но давление в точке создаёт жидкость над этой точкой, а не пустая часть сосуда или его полная высота. Для проверки отсчитайте глубину именно от свободной поверхности до рассматриваемого уровня.

Гидростатическое давление путают с полным, забывая о давлении воздуха над жидкостью. Причина в том, что формула ρgh описывает только действие столба жидкости. Уточните, какое давление задано: если требуется полное, добавьте внешнее давление; если гидростатическое — не добавляйте его.

В сосудах с разными жидкостями иногда считают высоты столбов равными. Равные уровни получаются для одной и той же жидкости при одинаковом внешнем давлении, а разные плотности требуют разных высот. Проверьте себя равенством ρ₁gh₁ = ρ₂gh₂: при большей плотности высота должна быть меньше.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны понятия силы, площади, плотности, веса тела и давления, а также умение переводить единицы в систему СИ. Особенно важно различать силу и давление: давление зависит не только от силы, но и от площади, на которую она действует.

Рассуждения о давлении в жидкостях и газах пригодятся при изучении закона Паскаля и гидравлических устройств, где давление передаётся через жидкость. Они также помогают понять измерение давления и действие выталкивающей силы. Эти темы используют общую идею: жидкость или газ взаимодействуют с телами и передают давление.

Что запомнить

• Давление равно силе, перпендикулярной поверхности, делённой на площадь этой поверхности.
• Гидростатическое давление на глубине h равно ρgh.
• В однородной неподвижной жидкости давление на одном уровне одинаково.
• Давление в жидкости увеличивается с глубиной и плотностью жидкости.
• В сообщающихся сосудах с одной и той же жидкостью свободные поверхности устанавливаются на одной высоте.
• Для разных жидкостей в сообщающихся сосудах равновесие определяется равенством давлений на одном уровне.