§ 42. Дифракция света на щели. Дифракционная решётка

Определения и обозначения

Дифракция света — отклонение света от прямолинейного распространения, заметное у отверстий и препятствий, размеры которых сравнимы с длиной волны. При этом свет попадает в область геометрической тени и может образовывать полосы. Понятие помогает понять, когда свет нельзя считать только набором прямых лучей.

Дифракция на щели — возникновение светлых и тёмных полос, когда свет проходит через узкую щель. Полосы появляются не потому, что щель сама по себе неодинаково пропускает свет, а из-за сложения волн от разных её участков. По картине можно судить о волновых свойствах света.

Дифракционная решётка — прибор с большим числом одинаковых параллельных щелей, разделённых непрозрачными промежутками. Свет от щелей складывается, поэтому в некоторых направлениях получается особенно сильное усиление. Решётка позволяет разделять свет по длинам волн и исследовать его спектр.

Период решётки d — расстояние между серединами соседних щелей. Он равен сумме ширины щели и ширины промежутка между щелями. Эта величина задаёт, под какими углами от решётки будут расходиться максимумы.

Как это устроено

Световая волна распространяется не только вдоль прямой линии: края отверстия или препятствия становятся заметными, если расстояние до них сравнимо с длиной волны. Тогда заметное отклонение волны происходит на небольшом участке пространства. Если отверстие намного шире длины волны, волновое отклонение сосредоточено у его краёв и обычно мало по сравнению с размером отверстия. Поэтому в повседневных условиях свет часто удобно считать прямолинейными лучами.

Принцип Гюйгенса описывает каждый участок волнового фронта как источник вторичных волн. После прохождения через щель такие волны расходятся, перекрываются и интерферируют — усиливают или ослабляют друг друга. В одних направлениях их фазы совпадают и освещённость возрастает, а в других волны приходят в противофазе и частично гасят друг друга. Так возникают чередующиеся светлые и тёмные области.

Для щели шириной a минимумы освещённости наблюдаются при a sin φ = mλ, где φ — угол отклонения от направления прямо напротив щели, λ — длина волны, а m — ненулевое целое число. Условие получается, когда вклады от разных участков щели взаимно компенсируются. При φ = 0 компенсации нет: волны от всей щели приходят в одном направлении, поэтому в центре расположен максимум. Первые минимумы по обе стороны от центра ограничивают широкий центральный максимум.

У решётки взаимодействуют волны не только от участков каждой щели, но и от соседних щелей. Главный максимум возникает, если разность хода волн от соседних щелей равна целому числу длин волн: d sin φ = mλ. Тогда волны от многих щелей складываются согласованно, и получается яркая полоса. Между такими направлениями волны большей частью ослабляют друг друга, поэтому главные максимумы узкие и хорошо выражены.

Если известны период решётки и угол главного максимума, из формулы λ = d sin φ/m можно определить длину волны для ненулевого порядка m. Если известны длина волны и период, то для каждого целого m вычисляют sin φ = mλ/d и находят угол. Однако значение синуса не может быть больше единицы по модулю, поэтому возможны только порядки, для которых |mλ/d| ≤ 1. По этой причине порядок спектра всегда проверяют на физическую допустимость.

Дифракция на щели и на дифракционной решётке

Сначала определите, рассматривается одна щель или многощелевая решётка: от этого зависит, ищете ли вы минимум или главный максимум. Затем выберите соответствующий размер — ширину щели a либо период d. Таблица также помогает не перепутать центральную полосу щели с главными максимумами решётки.

Разбор задач

Угол первого минимума на щели

Монохроматический свет с длиной волны 600 нм проходит через щель шириной 0,30 мм. Найдём угол первого минимума. Для одной щели применяем условие a sin φ = mλ, а первому минимуму соответствует m = 1. Переведём ширину щели в нанометры: 0,30 мм = 300 000 нм.

1. Записываем условие: sin φ = mλ/a.
2. Подставляем значения в одинаковых единицах: sin φ = 600/300 000 = 0,002.
3. Находим угол: φ = arcsin 0,002 ≈ 0,115°.

Ответ: угол первого минимума составляет примерно 0,115°.

Ширина центрального максимума

Экран находится на расстоянии L = 2,0 м от щели шириной a = 0,20 мм; длина волны λ = 500 нм. Центральный максимум ограничен первыми минимумами по обе стороны от центра. Для малых углов расстояние от центра до первого минимума можно оценить как x ≈ L tan φ ≈ L sin φ. Поэтому сначала находим угол одного минимума, а затем удваиваем полученное расстояние.

1. Переводим единицы: a = 2,0 × 10⁻⁴ м, λ = 5,0 × 10⁻⁷ м.
2. Для первого минимума sin φ = λ/a = 0,0025, значит φ ≈ 0,143°.
3. Расстояние от центра до минимума: x ≈ Lλ/a = 2,0 × 0,0025 = 0,0050 м.
4. Ширина центрального максимума равна 2x = 0,010 м = 1,0 см.

Ответ: ширина центрального максимума примерно 1,0 см.

Максимумы и порядок решётки

Решётка имеет период d = 2,0 мкм и освещена светом с длиной волны λ = 500 нм. Удобно выразить обе величины в нанометрах: d = 2000 нм. Для главных максимумов используем d sin φ = mλ, а допустимые значения m проверяем по условию |sin φ| ≤ 1.

1. Находим отношение d/λ = 2000/500 = 4, поэтому возможны порядки от −4 до 4.
2. Для m = 0 получаем φ = 0° — центральный максимум.
3. Для m = 1: sin φ = 0,25, значит φ ≈ 14,5°. Для m = 2: sin φ = 0,50, значит φ = 30°.
4. Для m = 3: sin φ = 0,75, значит φ ≈ 48,6°. Для m = 4: sin φ = 1, значит φ = 90°.

Ответ: возможны порядки m = 0, ±1, ±2, ±3, ±4; углы для положительных порядков приблизительно 0°, 14,5°, 30°, 48,6° и 90°, а для отрицательных такие же по модулю в другую сторону. Наибольший возможный порядок равен 4.

Типичные ошибки

Путать формулы для щели и решётки — значит использовать условие для минимума там, где ищут максимум, или наоборот. Похожий вид формул провоцирует ошибку, но одна описывает взаимное гашение волн в щели, а другая — согласованное сложение волн от соседних щелей. Проверяйте, что требуется в задаче: для щели ищите минимумы по a sin φ = mλ, для решётки — главные максимумы по d sin φ = mλ.

Считать период d шириной щели неверно: в него входит и промежуток между щелями. Такую ошибку легко допустить, если представить решётку просто как ряд отверстий. Проверьте, что d измерен от середины одной щели до середины соседней, и при необходимости сложите ширину щели с шириной промежутка.

Подстановка m = 0 в условие минимумов для одной щели даёт a sin φ = 0, то есть направление φ = 0, где находится центральный максимум. Ошибка возникает из-за того, что нулевой порядок используется в формуле решётки, а значение m переносится на щель без проверки смысла. В условии минимума щели указывайте m = ±1, ±2, …; нулевой порядок к минимумам не относится.

Нельзя объявлять порядок решётки возможным, не проверив |sin φ| ≤ 1. При большом m расчёт может дать синус больше единицы, а такого угла не существует. Перед поиском угла проверьте |mλ/d| ≤ 1; для наибольшего порядка возьмите наибольшее целое число, не превосходящее d/λ.

Связь с другими темами

Для объяснения дифракции нужны принцип Гюйгенса и интерференция волн. Принцип Гюйгенса помогает представить вторичные волны от разных участков щели, а условия усиления и ослабления объясняют появление светлых и тёмных полос. Поэтому тему удобно изучать после разбора сложения волн и разности хода.

Дифракционная решётка связывает волновые свойства света с практическим измерением длины волны. Разные длины волн дают максимумы под разными углами, поэтому решётка разделяет свет на спектр. Этот принцип используют в спектральных приборах для исследования состава излучения.

Что запомнить

• Дифракция особенно заметна, когда размеры отверстия или препятствия сравнимы с длиной волны.
• При прохождении света через щель картина возникает из-за интерференции волн от разных участков щели.
• Для минимумов одной щели выполняется a sin φ = mλ, где m = ±1, ±2, …
• Центральный максимум щели расположен напротив её середины и шире боковых максимумов.
• Период решётки — расстояние между серединами соседних щелей.
• Главные максимумы решётки удовлетворяют условию d sin φ = mλ.
• Для наблюдаемого порядка решётки должно выполняться |mλ/d| ≤ 1.