§ 41. Дифракция света

Определения и обозначения

Дифракция света — отклонение света от прямолинейного распространения, из-за которого он проникает в область геометрической тени. Геометрическая тень — область, куда лучи не попали бы, если бы свет шёл только по прямым линиям. Дифракция заметна у отверстий и препятствий подходящего размера. Это явление помогает объяснить поведение света как волны.

Дифракционный максимум — направление, в котором волны складываются так, что свет усиливается. Такое усиление происходит при согласованном сложении колебаний; на экране максимум выглядит как яркая полоса или пятно. Положение максимума позволяет связать наблюдаемую картину с длиной волны. Это особенно полезно при работе с решёткой.

Дифракционная решётка — система одинаковых параллельных щелей, разделённых непрозрачными промежутками. Период решётки d — расстояние между серединами двух соседних щелей, или расстояние между одинаковыми точками соседних периодов. Его измеряют в метрах и обычно находят по числу штрихов на единицу длины. Период задаёт направления, в которых свет усиливается.

Дифракционный спектр — разложение света разных длин волн в разные направления при прохождении через решётку. Поскольку цветам соответствуют разные длины волн, на экране они оказываются в разных местах. По спектру можно исследовать состав света и измерять длины волн. Белый свет при этом разделяется на цветные полосы.

Как это устроено

Размер отверстия определяет, насколько заметно волна отклоняется от исходного направления. Если щель намного шире длины волны, большинство участков волнового фронта направляет свет почти вперёд, и боковое отклонение мало. Когда размер щели сравним с длиной волны, волна заметно распространяется в стороны. Поэтому границы тени становятся менее резкими и в ней появляется свет.

Это можно объяснить принципом Гюйгенса — Френеля: каждый участок волнового фронта служит источником вторичных волн, а результат в точке определяется их сложением. У края отверстия вторичные волны распространяются и в область геометрической тени, куда не направлялись бы прямолинейные лучи. Волны от разных участков проходят неодинаковые расстояния и приходят с разными фазами. Поэтому одни участки пространства освещаются сильнее, а другие слабее.

У узкой щели волны от разных её частей интерферируют — усиливают или ослабляют друг друга при сложении. В центре экрана их пути почти одинаковы, поэтому возникает центральный максимум; по сторонам чередуются более слабые максимумы и минимумы. Минимум получается, когда вклады от частей щели взаимно компенсируются. Для щели шириной a условие минимумов записывают так: a sin φ = mλ, где φ — угол отклонения, λ — длина волны, а m = 1, 2, 3… Нулевой порядок соответствует центральному максимуму, а не минимуму.

В решётке свет проходит через множество одинаковых щелей. Для заданного направления разность хода волн от соседних щелей равна d sin φ. Если она составляет целое число длин волн, волны приходят в одинаковой фазе и усиливают друг друга; в промежуточных направлениях усиления от всех щелей нет. Так получают условие главных максимумов d sin φ = kλ, где k — целое число, называемое порядком максимума. Чем больше k или λ, тем дальше от центра находится максимум, пока значение sin φ не превышает единицу.

Белый свет состоит из волн разных длин, и для каждой из них условие максимума выполняется при своём угле. Поэтому центральный максимум нулевого порядка остаётся общим для цветов, а максимумы следующих порядков расходятся: красный и фиолетовый свет оказываются под разными углами. Это разделение и образует дифракционный спектр. Решётка позволяет наблюдать спектр и использовать измеренные углы для определения длины волны.

Дифракция на щели и на решётке

Сравнивайте не только наблюдаемую картину, но и то, какой объект создаёт её: одна щель или множество щелей. В формулах для щели используется ширина a и ищутся минимумы; для решётки берётся период d и определяются главные максимумы. В последней строке таблицы показано следствие зависимости угла от длины волны.

Перед подстановкой проверьте, относится ли задача к одной щели или к решётке: одинаковый вид формул не означает одинаковое физическое условие. В решёточных задачах также убедитесь, что период выражен в единицах длины, согласованных с λ.

Разбор задач

Первый минимум на щели

Свет длиной волны 600 нм проходит через щель шириной 0,30 мм. Найдём угол первого минимума. Здесь задана одна щель, поэтому используем условие a sin φ = mλ, а для первого минимума берём m = 1. Сначала переведём величины в метры: λ = 6,0 · 10⁻⁷ м, a = 3,0 · 10⁻⁴ м.

1. Из условия получаем sin φ = mλ/a.
2. Подставляем значения: sin φ = 6,0 · 10⁻⁷ / 3,0 · 10⁻⁴ = 0,002.
3. Так как значение мало, угол также мал: φ ≈ sin φ в радианах.
4. Переводим в градусы: 0,002 рад · 180°/π ≈ 0,115°.

Ответ: φ ≈ 0,002 рад, или около 0,11°. Малое полученное значение подтверждает, что приближение для малого угла здесь уместно.

Первый максимум решётки

Период решётки d = 2,0 мкм, длина волны λ = 500 нм. Требуется найти угол первого главного максимума. Поскольку задана решётка и спрашивается максимум, применяем d sin φ = kλ. Переведём период в нанометры: 2,0 мкм = 2000 нм.

1. Для первого порядка k = 1.
2. Выражаем синус угла: sin φ = kλ/d.
3. Подставляем: sin φ = 500/2000 = 0,25.
4. Находим угол: φ = arcsin 0,25 ≈ 14,5°.

Ответ: угол первого главного максимума примерно равен 14,5°. Проверка показывает, что отношение kλ/d меньше единицы, поэтому такой максимум возможен.

Порядки спектра

Решётка имеет 500 штрихов на миллиметр, длина волны равна 650 нм. Найдём, какие порядки могут наблюдаться. Сначала определяем период: d = 1 мм / 500 = 0,002 мм = 2,0 мкм = 2000 нм. Для существования максимума должно быть |sin φ| ≤ 1, значит kλ ≤ d для положительных порядков.

1. Находим наибольший порядок: k ≤ d/λ = 2000/650 ≈ 3,08.
2. Порядок должен быть целым числом, поэтому подходят k = 1, 2, 3.
3. Нулевой порядок тоже наблюдается прямо по центру; максимумы симметричны по обе стороны от него.

Ответ: возможны спектры первого, второго и третьего порядков, а также центральный максимум нулевого порядка. Четвёртый порядок невозможен, потому что 4λ больше периода решётки.

Типичные ошибки

Считать, что дифракция возникает только на решётке. Её вызывают любые отверстия и препятствия, хотя при больших размерах эффект может быть незаметен. Ошибка возникает из-за того, что решётка даёт отчётливую картину. Проверка: спросите себя, сравним ли размер объекта с длиной волны, а не только есть ли в задаче решётка.

Путать формулы минимума щели и максимума решётки. В первом случае a sin φ = mλ описывает ослабление света после одной щели, во втором d sin φ = kλ — усиление от соседних щелей. Их путают из-за похожего вида записи. Проверяйте тип объекта и то, какой именно элемент картины требуется найти.

Считать, что увеличение ширины щели усиливает дифракцию. При неизменной длине волны условие минимума показывает: чем больше a, тем меньше sin φ и угловое расстояние до минимума. Такая ошибка появляется, если ширину отверстия связывают с количеством прошедшего света, не учитывая ширину картины. Самопроверка: сравните отношение λ/a — при росте a оно уменьшается.

Подставлять число штрихов вместо периода решётки. Число штрихов характеризует, сколько элементов приходится на единицу длины, а d — расстояние между соседними щелями. Эти величины обратны, поэтому их нельзя подменять друг другом. Найдите d = 1/N и обязательно проверьте единицы: например, штрихи на миллиметр дают период в миллиметрах.

Связь с другими темами

Для понимания дифракции нужны волновые свойства света, понятие длины волны и интерференция — сложение волн, приводящее к усилению или ослаблению. Принцип Гюйгенса — Френеля помогает объяснить распространение света около краёв отверстия. Дифракционная решётка применяется в спектральных приборах для измерения длины волны и изучения состава излучения. Поэтому тема связывает волновую оптику с практическим анализом спектров.

Что запомнить

• Дифракция — отклонение света от прямолинейного распространения около препятствий и на отверстиях.
• Особенно заметна дифракция, когда размер препятствия или отверстия сравним с длиной волны.
• Картина дифракции возникает из-за интерференции волн от разных участков волнового фронта.
• Для минимумов на одной щели выполняется a sin φ = mλ.
• Для главных максимумов решётки выполняется d sin φ = kλ.
• Угол максимума решётки зависит от длины волны, поэтому белый свет разлагается в спектр.