2. Дифракция света

Определения и обозначения

Дифракция света — огибание световой волной препятствий и отклонение от прямолинейного распространения. Особенно заметна она, когда размер отверстия или препятствия сравним с длиной волны. Это понятие помогает объяснить, почему свет попадает в область геометрической тени и образует полосы за узкой щелью. Дифракцию не следует смешивать с преломлением, которое происходит при переходе между средами.

Принцип Гюйгенса–Френеля описывает каждую точку волнового фронта как источник вторичных волн, которые распространяются дальше и интерферируют. Волновой фронт — поверхность, на которой колебания происходят в одинаковой фазе. Сложение вторичных волн объясняет, почему в одних направлениях свет усиливается, а в других ослабляется. Этот принцип связывает огибание препятствий с возникновением дифракционной картины.

Дифракционная решётка — система большого числа параллельных щелей, разделённых непрозрачными промежутками. Период решётки d — расстояние между соответствующими точками двух соседних щелей. Он задаёт разность хода волн от соседних щелей и поэтому определяет направления ярких полос. Зная d, можно использовать решётку для измерения длины световой волны.

Дифракционный максимум — направление, где волны усиливают друг друга, а минимум — направление, где они ослабляются. Максимум выглядит как светлая полоса или яркая линия, минимум — как тёмный промежуток. Они возникают из-за интерференции волн, пришедших в одну точку с разными фазами. Положение полос позволяет судить о длине волны и размерах щели или решётки.

Как это устроено

Размер щели или препятствия определяет, насколько сильно волна отклонится от прямого пути. Если отверстие намного шире длины волны, большая часть света проходит почти прямо, а заметные отклонения возникают лишь у краёв. Когда щель становится сравнимой с длиной волны, вторичные волны от разных её участков существенно расходятся и накладываются под разными углами. Поэтому появляется заметный рисунок из светлых и тёмных областей.

В щели вторичные волны испускаются всеми её участками, и их фазы зависят от разности пройденных путей. В направлении прямо вперёд пути одинаковы, волны усиливают друг друга и возникает центральный максимум. При отклонении часть волн приходит в противофазе, так что они взаимно гасятся и образуют минимум; между минимумами остаются боковые максимумы. Интенсивность боковых полос меньше, потому что их формирование сопровождается более сильным взаимным гашением волн.

Для щели шириной a первый минимум возникает, когда разность хода волн от её краёв равна одной длине волны. Для следующих минимумов разность хода составляет целое число длин волн, поэтому условие записывают как a sin φ = mλ, где m — ненулевое целое число. Уменьшение a требует большего угла φ, чтобы получить ту же разность хода. Поэтому минимумы отодвигаются от центра, а угловая ширина центрального максимума возрастает.

В решётке свет проходит через множество щелей, и волны от соседних щелей интерферируют. Большинство направлений не дают устойчивого усиления: волны от разных щелей приходят с несовпадающими фазами и частично гасят друг друга. В определённых направлениях разность хода соседних волн равна целому числу длин волн; тогда все они складываются согласованно и возникает яркий главный максимум. Если период решётки равен d, условие имеет вид d sin φ = kλ, где k — порядок максимума.

Из измеренного угла φ можно найти длину волны по формуле λ = d sin φ / k, если известны период решётки и ненулевой порядок максимума. При одинаковых d и k угол зависит от длины волны: чем она больше, тем больше sin φ и сам угол в допустимом диапазоне. Поэтому белый свет распадается на спектр, а свет одной длины волны даёт отдельные максимумы. Порядок ограничен условием |k|λ/d ≤ 1, поскольку синус угла не может быть больше единицы.

Основные случаи дифракции света

Сначала определите, какой объект рассматривается: одна щель или решётка. Затем выберите строку с подходящим условием и проверьте, относится ли формула к минимуму либо максимуму. В задачах на спектр используйте зависимость угла от длины волны и порядка.

Разбор задач

Первая задача

Монохроматический свет с длиной волны 600 нм проходит через щель шириной 0,30 мм. Найдём угол первого дифракционного минимума. Для минимума одной щели берём a sin φ = mλ, а для первого минимума m = 1. Переведём величины в метры: a = 3,0 · 10⁻⁴ м, λ = 6,0 · 10⁻⁷ м.

1. Выразим синус угла: sin φ = mλ/a.
2. Подставим значения: sin φ = 6,0 · 10⁻⁷ / 3,0 · 10⁻⁴ = 0,002.
3. Тогда φ = arcsin(0,002) ≈ 0,002 рад ≈ 0,115°; использовано приближение малых углов sin φ ≈ φ.

Ответ: первый минимум находится под углом примерно 0,002 рад, или 0,115°. Угол мал, поэтому приближение синуса углом в радианах здесь подходит. Важно использовать условие минимума для щели, а не формулу главных максимумов решётки.

Вторая задача

Решётка имеет 500 штрихов на миллиметр и освещена светом с длиной волны 600 нм. Требуется найти угол максимума первого порядка и наибольший возможный порядок. Чем больше штрихов приходится на единицу длины, тем меньше расстояние между соседними щелями. Сначала найдём это расстояние и приведём его к тем же единицам, что и длину волны.

1. Период d = 1 мм / 500 = 0,002 мм = 2,0 · 10⁻⁶ м.
2. Для k = 1: sin φ = λ/d = 6,0 · 10⁻⁷ / 2,0 · 10⁻⁶ = 0,30, поэтому φ ≈ 17,5°.
3. Из sin φ ≤ 1 следует kλ/d ≤ 1, то есть k ≤ d/λ = 2,0 · 10⁻⁶ / 6,0 · 10⁻⁷ ≈ 3,33. Наибольшее целое значение k — 3.

Ответ: максимум первого порядка наблюдается примерно под углом 17,5°, наибольший возможный порядок — третий. Четвёртый порядок невозможен, потому что для него kλ/d было бы больше единицы. При подсчёте штрихов период получается обратной величиной к числу штрихов на единицу длины.

Третья задача

Максимум второго порядка на решётке с периодом 2 мкм виден под углом 30°. Нужно найти длину волны и угол максимума первого порядка. Используем d sin φ = kλ: известны период, порядок и угол, значит сначала можно определить λ. Для первого порядка оставим найденную длину волны и изменим только k.

1. Переведём период: d = 2 · 10⁻⁶ м.
2. Для k = 2 и sin 30° = 0,5 получим λ = d sin φ/k = 2 · 10⁻⁶ · 0,5 / 2 = 5 · 10⁻⁷ м = 500 нм.
3. Для первого порядка sin φ₁ = λ/d = 5 · 10⁻⁷ / 2 · 10⁻⁶ = 0,25, поэтому φ₁ ≈ 14,5°.

Ответ: длина волны равна 500 нм, максимум первого порядка наблюдается примерно под углом 14,5°. Угол меньше, чем у второго порядка, потому что при неизменных длине волны и периоде величина sin φ пропорциональна k. Это сравнение верно, пока соответствующий порядок существует.

Типичные ошибки

Путать дифракцию с обычным преломлением — значит считать, что луч меняет направление только при переходе в другую среду. Такое смешение возникает потому, что в обоих случаях направление света может измениться. Проверьте себя: дифракция проявляется около препятствия или отверстия и связана с интерференцией вторичных волн, а преломление — с переходом границы сред.

Подставлять для одной щели формулу d sin φ = kλ неверно: это условие главных максимумов решётки. Ошибка появляется, если не различать щель и систему многих щелей, а также минимум и максимум. Для минимума одной щели используйте a sin φ = mλ; перед расчётом выпишите словами, что именно требуется найти.

Смешение миллиметров, микрометров и нанометров даёт ошибку в масштабе результата. Часто это происходит при подстановке чисел без перевода единиц. Приведите все длины к метрам или одной другой общей единице и оцените ответ: углы и длины волн должны быть физически правдоподобны для заданных размеров.

Считать, что возможен любой порядок максимума, нельзя: синус угла не превышает единицы. Это ограничение легко упустить, если применять формулу решётки только как вычислительную. После расчёта проверяйте kλ/d ≤ 1; если левая часть больше единицы, такой максимум не может наблюдаться.

Связь с другими темами

Для объяснения дифракции нужны понятия длины волны, частоты, разности хода и интерференции: они позволяют определить, когда вторичные волны усиливают или гасят друг друга. Дифракционная решётка применяется в спектральном анализе и измерении длин волн, а также помогает понять разрешающую способность оптических приборов. Дифракционная картина служит подтверждением волновой природы света, поскольку её положения и яркость объясняются сложением волн.

Что запомнить

• Дифракция заметна, если размер отверстия или препятствия сравним с длиной волны.
• Дифракционная картина возникает из-за интерференции вторичных волн.
• Для минимумов на одной щели: a sin φ = mλ.
• Период решётки d — расстояние между соответствующими точками соседних щелей.
• Для главных максимумов решётки: d sin φ = kλ.
• Уменьшение ширины щели расширяет центральный дифракционный максимум.
• Дифракционная решётка позволяет измерять длину волны и разделять свет по длинам волн.