§70. Дифракция света

Определения и обозначения

Дифракция света — огибание световыми волнами препятствий и проникновение в область геометрической тени, куда лучи по законам геометрической оптики не попали бы. Это явление показывает, что свет нельзя во всех случаях описать только прямыми лучами: нужно учитывать его волновые свойства. Особенно отчётливо волновые эффекты проявляются у отверстий и препятствий подходящего размера.

Принцип Гюйгенса утверждает, что каждая точка волнового фронта служит источником вторичных волн. Волновой фронт — поверхность, до которой в данный момент дошли колебания одной фазы. За препятствием вторичные волны от открытых участков распространяются в разные стороны и могут попасть в геометрическую тень.

Дифракционная картина — распределение интенсивности света, возникающее при интерференции волн, пришедших в одну точку от разных частей волнового фронта. Интенсивность показывает, насколько ярко освещён участок экрана. Понимание этого определения помогает объяснить, почему за щелью видны чередующиеся светлые и тёмные области, а не просто размытая тень.

Дифракционная решётка — система большого числа одинаковых равноотстоящих щелей. Расстояние между серединами соседних щелей называют периодом решётки и обозначают d. Волны от множества щелей усиливают друг друга в определённых направлениях, поэтому решётка даёт узкие выраженные максимумы, удобные для анализа света.

Как это устроено

Заметность дифракции зависит от соотношения размера отверстия или препятствия и длины волны λ. Если размер сравним с λ, вторичные волны заметно распространяются в стороны, и свет заходит в область тени. При размерах, намного превосходящих длину волны, отклонение волн мало относительно размеров картины, поэтому распространение кажется прямолинейным.

Вторичные волны от разных частей фронта приходят в одну точку с разными фазами — то есть с разным состоянием колебаний. Если колебания приходят согласованно, они усиливают друг друга и возникает максимум; если в противофазе — ослабляют и дают минимум. Так интерференция создаёт чередование светлых и тёмных полос, хотя исходная волна освещает щель непрерывно.

Для одной щели шириной a волны, идущие под углом φ к центральному направлению, могут взаимно погаситься. Минимумы наблюдаются при условии a sin φ = mλ, где m — ненулевое целое число. На экране на расстоянии L от щели при малых углах sin φ ≈ tg φ ≈ y/L, поэтому координата минимума yₘ ≈ mλL/a. Первые минимумы ограничивают центральный максимум, а следующие задают границы боковых максимумов.

Центральный максимум на щели шире боковых, потому что он занимает область между минимумами первого порядка: от −λ/a до +λ/a по углу при малых углах. Его ширина примерно вдвое больше расстояния от центра до первого минимума. Боковые максимумы лежат между соседними минимумами, а их яркость ниже центральной из-за частичного взаимного гашения волн.

В решётке волны от большого числа щелей складываются одновременно. При направлениях, где волны соседних щелей приходят в одинаковой фазе, возникает усиление; при малом отклонении от такого направления вклады многих щелей быстро перестают складываться согласованно. Поэтому с увеличением числа щелей главные максимумы становятся уже и ярче, а их положение задаётся условием d sin φ = kλ.

Дифракция на щели и дифракционной решётке

Таблица помогает не смешивать условия для разных картин: формула щели описывает её минимумы, а формула решётки — главные максимумы. При сравнении сначала определите, рассматривается одна щель или много щелей, затем выберите соответствующее условие. В обоих случаях длина волны влияет на угловое положение элементов картины.

Разбор задач

Задача 1. Минимум на экране

Условие. Свет с длиной волны 600 нм проходит через щель шириной 0,30 мм. Экран находится на расстоянии 2,0 м. Найдите расстояние от центра центрального максимума до первого минимума. Искомое расстояние обозначим y₁.

1. Для первого минимума щели m = 1, поэтому a sin φ = λ. При малом угле sin φ ≈ y₁/L, откуда y₁ ≈ λL/a.
2. Переведём единицы: λ = 6,0·10⁻⁷ м, a = 3,0·10⁻⁴ м, L = 2,0 м. Подстановка даёт y₁ = (6,0·10⁻⁷ · 2,0)/(3,0·10⁻⁴) м.
3. Вычисляем: y₁ = 4,0·10⁻³ м = 4,0 мм. Проверка: отношение y₁/L мало, значит приближение малых углов оправдано.

Ответ: первый минимум находится на расстоянии 4,0 мм от центра.

Задача 2. Максимум решётки

Условие. Решётка имеет 500 штрихов на миллиметр, на неё падает свет длиной волны 600 нм. Найдите угол максимума первого порядка. Сначала нужно определить расстояние между соседними щелями — период d. Затем используем условие главного максимума.

1. Плотность штрихов равна 500 мм⁻¹, поэтому d = 1/500 мм = 0,002 мм = 2,0·10⁻⁶ м.
2. Для первого порядка k = 1. Из d sin φ = kλ получаем sin φ = λ/d = 600·10⁻⁹/(2,0·10⁻⁶) = 0,30.
3. Находим угол: φ = arcsin 0,30 ≈ 17,5°. Значение синуса меньше единицы, следовательно, такой максимум физически возможен.

Ответ: угол максимума первого порядка составляет примерно 17,5°.

Задача 3. Наибольший порядок

Условие. Решётка с периодом 2,0 мкм освещена светом длиной волны 500 нм. Определите наибольший возможный порядок максимума и объясните, почему максимумы более высокого порядка отсутствуют. Угол не может иметь синус больше единицы, и именно это ограничение определяет предел.

1. Запишем условие решётки: d sin φ = kλ, значит sin φ = kλ/d. Чтобы направление существовало, должно выполняться kλ/d ≤ 1.
2. Тогда k ≤ d/λ = 2,0·10⁻⁶/(5,0·10⁻⁷) = 4. Наибольшее целое значение порядка — k = 4.
3. Для k = 4 получается sin φ = 1, то есть φ = 90°. При k = 5 синус был бы равен 1,25, что невозможно.

Ответ: наибольший порядок — четвёртый; максимумы пятого и более высоких порядков отсутствуют, поскольку потребовали бы sin φ > 1.

Типичные ошибки

Считать, что дифракция возникает только у края препятствия, — неверно: интерферировать могут волны от всех открытых участков волнового фронта. Такое представление возникает, когда тень мысленно считают полностью закрытой, а влияние отверстия забывают. Проверка: для щели учитывайте вклад всей её ширины, а не только двух краёв.

Ожидать заметную дифракцию при любом размере отверстия тоже ошибочно. Часто путают сам факт существования волнового эффекта с его видимостью: при отверстии намного шире длины волны отклонение мало. Сравните размер с λ: сопоставимые величины дают выраженную картину, а сильно различающиеся — обычно слабую.

Период решётки иногда принимают за число штрихов на единицу длины. Это обратные величины: при большей плотности штрихов соседние щели расположены ближе. Проверка проста: если на миллиметр приходится N штрихов, период равен d = 1/N мм, а не N мм.

Нельзя применять условие главных максимумов решётки d sin φ = kλ для минимумов одной щели. Формулы относятся к разным элементам картины и зависят от разных размеров: для щели используется её ширина a, для решётки — период d. Перед расчётом определите, что дано и что требуется найти; затем проверьте, соответствует ли условие типу элемента.

Связь с другими темами

Чтобы понять дифракцию, нужно знать длину волны, принцип суперпозиции и условия интерференционных максимумов и минимумов. Эти знания позволяют объяснить, почему волны от разных частей фронта в одних направлениях усиливаются, а в других ослабляются. Дифракция также устанавливает предел разрешения оптических приборов: детали, слишком близкие друг к другу, невозможно различить из-за волнового характера света. Дифракционные решётки применяют в спектральном анализе, чтобы разделять свет на составляющие с разными длинами волн.

Что запомнить

• Дифракция — волновое огибание препятствий и проникновение света в область геометрической тени.
• Заметность дифракции возрастает, когда размеры препятствия или отверстия сравнимы с длиной волны.
• Дифракционная картина возникает из-за интерференции вторичных волн.
• Для решётки главные максимумы удовлетворяют условию d sin φ = kλ.
• Порядок максимума k — целое число; возможны только порядки, для которых |sin φ| не превышает единицу.
• Чем больше щелей решётки участвует в дифракции, тем уже и ярче главные максимумы.