§71. Дифракционная решётка

Определения и обозначения

Дифракционная решётка — оптический прибор из большого числа параллельных щелей или штрихов, расположенных на одинаковом расстоянии. Свет дифрагирует на каждом элементе решётки, то есть распространяется за его края и взаимодействует с волнами от других элементов. Решётка объединяет действие множества щелей: благодаря этому возникают чёткие максимумы, по которым можно исследовать свет.

Период дифракционной решётки d — расстояние между серединами соседних щелей или соседних штрихов. Если ширина щели равна a, а ширина непрозрачного промежутка между щелями — b, то d = a + b. Период показывает, насколько часто повторяются элементы решётки, и именно его используют в формуле максимумов.

Главный максимум — яркая полоса, возникающая, когда световые волны от всех щелей усиливают друг друга. Положение максимума обозначают целым числом k, которое называют его порядком. Оно помогает отличать центральную полосу от максимумов, расположенных дальше от неё.

Дифракционный спектр — картина разложения белого света решёткой на цветные составляющие. Центральный максимум имеет белый цвет, а спектры разных порядков располагаются по обе стороны от него. Такая картина позволяет сравнивать длины волн входящих в свет цветов.

Как это устроено

Когда свет падает на решётку, каждая щель действует как источник волны: это следует из принципа Гюйгенса. Волны от всех щелей распространяются и накладываются друг на друга. В одних направлениях их гребни совпадают, поэтому свет усиливается; в других гребень одной волны приходится на впадину другой, и свет ослабевает. Так возникает чередование ярких и тёмных направлений.

Рассмотрим лучи от двух соседних щелей, направленные под углом φ к нормали — перпендикуляру к плоскости решётки. Период d задаёт расстояние между щелями, а проекция этого расстояния на направление распространения даёт разность хода лучей: d sin φ. Поэтому угол влияет на то, насколько один луч «отстаёт» от другого. Для максимума нужно, чтобы эта разность соответствовала целому числу длин волн.

Условие главных максимумов записывают так: d sin φ = kλ. Здесь d — период решётки, φ — угол максимума относительно нормали, λ — длина волны, а k — целое число, задающее порядок. При k = 0 получаем sin φ = 0 и φ = 0: это центральный максимум при нормальном падении света. Другие целые значения k соответствуют максимумам по обе стороны от центра.

Если d и k не меняются, то sin φ = kλ/d: при увеличении длины волны увеличивается и угол φ. Именно поэтому разные цвета белого света выходят из решётки в разных направлениях. Красный свет имеет большую длину волны, чем фиолетовый, и для одного порядка отклоняется сильнее. В центре, где k = 0, все длины волн совмещаются, поэтому максимум остаётся белым.

Угол не может иметь синус больше единицы по модулю. Подстановка условия максимума даёт |k|λ/d ≤ 1, или |k| ≤ d/λ. Порядок k должен быть целым, поэтому максимальный порядок — наибольшее целое число, не превышающее d/λ. Например, если d/λ = 4,6, возможны порядки от −4 до 4, а не порядок 4,6.

Величины и условия для дифракционной решётки

Сначала определите, что требуется найти: период, угол или допустимый порядок. Затем выберите строку с нужным условием и проверьте единицы величин. Для поиска максимального порядка после вычисления d/λ обязательно оставьте только целые значения k.

Разбор задач

Задача 1. Решётка содержит 500 штрихов на 1 мм. Найдите её период. Период — это расстояние между соседними штрихами, поэтому здесь нужно разделить длину участка на число промежутков. Удобно сразу перевести миллиметры в метры.

1. Запишем плотность штрихов: N = 500 мм⁻¹ = 500 000 м⁻¹.
2. Найдём период как обратную величину: d = 1/N.
3. Вычислим: d = 1/(500 000 м⁻¹) = 0,000002 м = 2,0 мкм.

Ответ: d = 2,0 мкм. При проверке полезно убедиться, что большему числу штрихов на единицу длины соответствует меньший период.

Задача 2. На решётку с периодом 2,0 мкм нормально падает свет с длиной волны 500 нм. Определите угол первого главного максимума. Первый порядок означает k = 1. Перед вычислением можно перевести обе длины в микрометры: тогда 500 нм = 0,5 мкм.

1. Используем условие максимумов: d sin φ = kλ.
2. Выразим синус: sin φ = kλ/d = 1 · 0,5 мкм / 2,0 мкм = 0,25.
3. Находим угол: φ = arcsin 0,25 ≈ 14,5°.

Ответ: угол первого максимума примерно 14,5°. Положения максимумов первого порядка симметричны, поэтому такой же угол по модулю будет с другой стороны от центрального.

Задача 3. Для решётки с периодом 3,0 мкм определите возможные порядки максимумов для света с длиной волны 600 нм и угол максимума наибольшего порядка. Для начала найдём безразмерное отношение d/λ, затем учтём, что порядок должен быть целым.

1. Переведём длину волны: 600 нм = 0,6 мкм.
2. Из ограничения |k| ≤ d/λ получаем |k| ≤ 3,0/0,6 = 5. Возможны целые порядки k = −5, −4, …, 0, …, 4, 5.
3. Для наибольшего порядка k = 5: sin φ = kλ/d = 5 · 0,6/3,0 = 1.
4. Следовательно, φ = arcsin 1 = 90°.

Ответ: возможны порядки от −5 до 5, а угол максимума пятого порядка равен 90°. Он соответствует предельному направлению, для которого условие существования максимума ещё выполняется.

Типичные ошибки

Подмена периода шириной одной щели приводит к неверному углу максимума. Эту ошибку допускают, потому что оба расстояния относятся к элементам решётки, но в условии участвует расстояние между соседними щелями целиком. Проверьте, что используете d = a + b, а не только a.

Иногда принимают за порядок любое число, которое подходит под ограничение для синуса. Однако k обозначает номер максимума и может принимать только целые значения. После нахождения допустимого интервала выпишите целые числа внутри него — это и будут возможные порядки.

Смешение длины волны с периодом решётки или вычисления в разных единицах меняют результат во много раз. Такое случается, если, например, подставить d в микрометрах, а λ — в нанометрах без перевода. Перед расчётом приведите обе величины к одной единице и проверьте, что отношение λ/d безразмерно.

Неверно считать, что красный свет отклоняется меньше фиолетового. При одинаковых d и k угол растёт вместе с длиной волны, а у красного света она больше. Самопроверка простая: в формуле sin φ = kλ/d увеличьте λ и убедитесь, что увеличивается sin φ, а значит, и угол.

Связь с другими темами

Чтобы понять решётку, нужно знать дифракцию света и принцип Гюйгенса: каждый элемент волнового фронта можно рассматривать как источник вторичных волн. Их наложение связано с интерференцией — усилением или ослаблением волн в зависимости от разности хода. Эти понятия объясняют, почему яркие полосы возникают не во всех направлениях.

В задачах важно уметь находить разность хода лучей и связывать её с углом наблюдения через sin φ. Это применение геометрии к распространению волн: период решётки задаёт расстояние, а направление наблюдения определяет проекцию этого расстояния. Так получают условие d sin φ = kλ.

Дифракционные решётки применяют в спектральных приборах для разделения света на составляющие. По положению максимумов можно определить длину волны, а по набору длин волн — исследовать состав излучения. Поэтому решётка служит и наглядной моделью волновых явлений, и измерительным инструментом.

Что запомнить

• Период решётки — расстояние между соседними щелями или штрихами.
• Главные максимумы удовлетворяют условию d sin φ = kλ.
• Центральный максимум соответствует k = 0.
• Порядок максимума k принимает целые значения.
• Максимально возможный порядок ограничен условием |kλ/d| ≤ 1.
• При одинаковом порядке длинноволновый свет отклоняется сильнее коротковолнового.