4. Дифракционная решётка

Определения и обозначения

Дифракционная решётка — система большого числа одинаковых параллельных щелей или штрихов, на которых свет испытывает дифракцию. Дифракция — огибание волной препятствий и проникновение в область геометрической тени. Множество щелей помогает получить чёткие максимумы и разделить свет на спектральные составляющие.

Период дифракционной решётки d — расстояние между серединами соседних щелей. Если ширина прозрачной щели равна a, а непрозрачного промежутка — b, то d = a + b. В расчётах нужен именно период, потому что он определяет расстояние между источниками волн, создаваемыми соседними щелями.

Главный максимум — яркая полоса, возникающая при усилении световых волн от соседних щелей. Усиление происходит, когда волны приходят в одну точку согласованно, то есть их колебания складываются. Положение таких максимумов позволяет связать свойства решётки с длиной волны света.

Порядок спектра m — целое число, обозначающее максимум: m = 0 соответствует центральному максимуму, а ненулевые значения — максимумам по обе стороны от него. Знак показывает сторону от центра, а модуль — порядковый номер. Целочисленность важна: главный максимум возникает только при допустимом целом значении m.

Как это устроено

Свет, проходя через каждую щель, распространяется дальше не только прямо: щель становится источником вторичных волн. Волны от множества щелей встречаются и накладываются друг на друга. В одних направлениях их колебания усиливаются, в других частично или полностью гасят друг друга. Поэтому за решёткой наблюдается чередование ярких максимумов и более тёмных областей.

Чтобы узнать, в каком направлении волны усиливаются, сравнивают их пути от двух соседних щелей до точки наблюдения. При перпендикулярном падении света разность этих путей равна d sin φ, где d — период решётки, а φ — угол между направлением наблюдения и перпендикуляром к решётке. Если разность хода равна целому числу длин волн, соседние волны приходят согласованно. Тогда возникает главный максимум.

Это условие записывают формулой d sin φ = mλ. Здесь λ — длина волны, а m — целое число порядка максимума. Если известны период и длина волны, формула показывает, под каким углом наблюдать максимум; если известен угол, можно определить длину волны или период. При вычислениях единицы величин нужно согласовать, например перевести и микрометры, и нанометры в метры.

При m = 0 правая часть равна нулю, поэтому sin φ = 0 и центральный максимум находится напротив решётки, на её перпендикуляре. При каждом ненулевом порядке максимумы возникают по обе стороны от центра: знакам +m и −m соответствуют противоположные направления. Для монохроматического света, то есть света одной длины волны, эти максимумы симметричны.

У разных длин волн при одном и том же порядке получаются разные углы, поскольку в формуле меняется λ. Поэтому составляющие белого света расходятся по направлениям и образуют спектр. Однако угол не может иметь синус больше единицы по модулю, так что максимум существует лишь при |mλ/d| ≤ 1. Это ограничивает число порядков, которые можно увидеть.

Главные максимумы дифракционной решётки

Сначала выбери строку, соответствующую нужному порядку, а затем подставь известные значения в условие максимума. Для проверки существования максимума вычисли |mλ/d|: результат не должен превышать единицу. Если нужно найти максимальный порядок, возьми наибольшее целое число, не превосходящее d/λ.

Разбор задач

Задача 1

Условие. На решётку с периодом 2,0 мкм нормально падает свет с длиной волны 500 нм. Определите синус угла, под которым наблюдается максимум первого порядка. Нужно найти sin φ, поэтому вычислять сам угол не требуется. Перед подстановкой удобно привести обе длины к одинаковым единицам.

1. Для первого порядка m = 1, а условие максимума имеет вид d sin φ = mλ.
2. Выразим синус: sin φ = mλ/d.
3. Переведём длины в нанометры: d = 2,0 мкм = 2000 нм. Тогда sin φ = 1 · 500/2000 = 0,25.

Ответ: sin φ = 0,25. Значение меньше единицы, поэтому максимум первого порядка существует.

Задача 2

Условие. Максимум второго порядка от решётки с периодом 4,0 мкм наблюдается под углом 30°. Найдите длину волны света. Здесь известны период, угол и порядок, поэтому из условия максимума нужно выразить λ. Важно подставлять sin 30°, а не само значение угла.

1. Запишем условие: d sin φ = mλ.
2. Выразим длину волны: λ = d sin φ/m.
3. Подставим данные: λ = 4,0 мкм · 0,5/2 = 1,0 мкм. Для перевода в нанометры умножим на 1000.

Ответ: λ = 1,0 мкм = 1000 нм. Проверка исходным условием даёт 4,0 · 0,5 = 2 · 1,0 в микрометрах.

Задача 3

Условие. Две спектральные линии с длинами волн 450 нм и 600 нм наблюдаются в спектрах, полученных с помощью одной решётки. Определите, совпадут ли максимум какого-либо порядка для первой линии и максимум другого порядка для второй. При совпадении углы одинаковы, а период решётки один и тот же. Поэтому можно приравнять правые части условия максимумов.

1. Обозначим порядки для линий 450 нм и 600 нм как m₁ и m₂. Для совпадения направлений требуется m₁ · 450 = m₂ · 600.
2. Сократим обе длины на 150: получим 3m₁ = 4m₂.
3. Наименьшее положительное целочисленное решение — m₁ = 4 и m₂ = 3. Значит, четвёртый максимум линии 450 нм совпадает с третьим максимумом линии 600 нм.

Ответ: да, максимумы могут совпасть: при порядках 4 и 3. Такое совпадение возможно, если соответствующие максимумы существуют, то есть для каждой линии выполняется ограничение |mλ/d| ≤ 1.

Типичные ошибки

• Подменять период шириной щели. В формулу ошибочно подставляют ширину прозрачного участка, хотя d — расстояние между соседними щелями. Так делают, потому что обе величины описывают размеры решётки. Проверь себя: период равен a + b и больше ширины одной щели.
• Считать m произвольным числом. Порядок максимума должен быть целым, включая ноль, иначе условие не описывает главный максимум. Ошибка возникает, когда m воспринимают просто как коэффициент в формуле. Проверь, что выбранное значение — целое и соответствует нужному порядку.
• Применять формулу при наклонном падении. Условие d sin φ = mλ записано для перпендикулярно падающего света. При наклонном падении разность хода меняется, поэтому прежняя запись без поправки неверна. Перед расчётом проверь, как направлен падающий луч.
• Принимать |sin φ| > 1 за возможный угол. Синус действительного угла не может быть больше единицы по модулю, поэтому такой результат означает отсутствие максимума. Причина часто в слишком большом порядке или ошибке единиц. Проверь перевод длин и условие |mλ/d| ≤ 1.

Связь с другими темами

Для понимания решётки нужны представления о дифракции, интерференции и разности хода световых волн. Дифракция объясняет появление волн за щелями, а интерференция — усиление и ослабление света при их наложении. Разность хода позволяет установить, в каких направлениях образуются главные максимумы.

Условие максимумов связывает решётку с интерференцией, а спектр — с волновыми свойствами света. Разделение света по длинам волн используют в спектральном анализе, чтобы исследовать состав излучения. Таким образом, решётка переводит различие длин волн в различие направлений.

Что запомнить

• Решётка состоит из большого числа равноотстоящих щелей или штрихов.
• Период решётки — расстояние между соседними щелями.
• При нормальном падении света главные максимумы удовлетворяют условию d sin φ = mλ.
• Порядок максимума m принимает целые значения.
• Максимум нулевого порядка расположен по направлению, перпендикулярному решётке.
• Максимумы разных длин волн находятся под разными углами.
• Максимум возможен только при |mλ/d| ≤ 1.