"Физика (углублённый уровень)", Кабардин О.Ф., Глазунов А.Т., Орлов В.А. и др. / Под ред. Пинского А.А., Кабардина О.Ф.
Дифракционная решётка — множество одинаковых щелей, расположенных через равные промежутки. Свет от этих щелей складывается и усиливается в определённых направлениях, образуя яркие максимумы. Их положение зависит от длины волны и периода решётки, поэтому белый свет разделяется на спектр. Решётки используют в спектральных приборах: они помогают измерять длины волн и определять состав веществ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Дифракционная решётка — совокупность большого числа регулярно расположенных одинаковых щелей, разделённых непрозрачными промежутками. Свет проходит через щели, и от каждой распространяется вторичная волна. Благодаря большому числу щелей получается система волн, способная создавать чёткие максимумы.
Период дифракционной решётки d — расстояние между серединами соседних щелей. Он равен сумме ширины щели и ширины непрозрачного промежутка, поэтому не совпадает только с шириной одной из этих частей. Период нужен, чтобы определить разность хода волн и найти направления максимумов.
Главный максимум — направление, в котором волны от всех щелей приходят синфазно, то есть их колебания совпадают по фазе, и интенсивность света особенно велика. На экране такой максимум выглядит как яркая полоса. Его положение задаётся условием усиления волн.
Порядок спектра m — целое число, определяющее положение главного дифракционного максимума. Нулевому порядку соответствует центральная полоса, а положительным и отрицательным значениям — максимумы по разные стороны от неё. Целые значения появляются потому, что для усиления разность хода должна содержать целое число длин волн.
Когда свет падает на решётку, каждая щель пропускает часть волны и становится источником вторичной волны. Поскольку щели одинаковы и освещены одной волной, их излучение согласовано по фазе: волны когерентны. На экране эти волны накладываются друг на друга, и результат зависит от того, совпадают ли их колебания. Именно регулярность расположения щелей делает картину повторяющейся и позволяет получить узкие яркие полосы.
Рассмотрим две соседние щели, разделённые периодом d, и лучи, направленные под углом φ к нормали решётки. Один луч проходит немного больший путь, чем другой; разность хода равна проекции расстояния между щелями на направление распространения лучей, то есть d·sinφ. При φ = 0 эта проекция равна нулю, а при отклонении от нормали разность хода увеличивается. Угол в формуле отсчитывают именно от нормали, а не от плоскости решётки.
Волны усиливают друг друга, если разность хода равна целому числу длин волн: Δ = mλ. Подставляя Δ = d·sinφ, получаем условие главных максимумов d·sinφ = mλ. Здесь λ — длина волны, а m — целое число: 0, ±1, ±2 и так далее. При этих значениях волны от соседних щелей приходят синфазно, а значит, совпадают по фазе и волны от остальных щелей.
Для m = 0 уравнение даёт sinφ = 0, поэтому центральный максимум находится по нормали к решётке. При одинаковом по модулю положительном и отрицательном m синус угла отличается знаком, а углы отклонения направлены в противоположные стороны. Так максимумы одного порядка образуют симметричные пары относительно центра. Ненулевые порядки удаляются от центра по мере увеличения |m|, если такие значения ещё допускаются условием для синуса.
Из уравнения следует sinφ = mλ/d: при одном и том же порядке увеличение длины волны увеличивает угол отклонения. Поэтому красный свет отклоняется сильнее синего, и составляющие белого света расходятся в разные стороны, образуя спектр. Центральный максимум не разделяет цвета, так как при m = 0 угол равен нулю для любой длины волны. Для каждого порядка спектральные полосы располагаются по обе стороны центральной.
| Характеристика | Обозначение или формула | Физический смысл |
|---|---|---|
| Период решётки | d = a + b | Расстояние между серединами соседних щелей; a — ширина щели, b — ширина промежутка. |
| Связь периода с числом штрихов на единицу длины | d = 1/n | Если n — число штрихов на единицу длины, период равен длине, приходящейся на один штрих. |
| Условие главных максимумов | d·sinφ = mλ | Задаёт направления, в которых волны от щелей усиливаются. |
| Нулевой порядок | m = 0; φ = 0 | Центральный максимум по нормали к решётке. |
| Максимально возможный порядок | |m| ≤ d/λ | Наибольший целый порядок, при котором |sinφ| не превышает единицу. |
| Зависимость угла дифракции от длины волны | sinφ = mλ/d | При одном порядке более длинная волна отклоняется на больший угол. |
| Симметрия расположения максимумов | φₘ и −φₘ | Максимумы одного порядка расположены по разные стороны центрального. |
В задачах сначала определите, какие величины известны, и приведите их к одинаковым единицам. Затем используйте условие максимума или связь d = 1/n, если дана плотность штрихов. Перед вычислением угла проверьте, что полученное значение синуса не превышает единицу.
Задача 1. На решётку с периодом 2 мкм нормально падает монохроматический свет с длиной волны 500 нм. Найти угол отклонения максимума первого порядка. Нужно связать известные период и длину волны с углом по условию главных максимумов. Угол отсчитываем от нормали к решётке.
Ответ: угол отклонения максимума первого порядка примерно 14,5°. Отрицательный максимум первого порядка наблюдался бы под таким же углом с другой стороны от центрального.
Задача 2. Решётка содержит 500 штрихов на 1 мм, длина волны света — 600 нм. Найти наибольший возможный порядок и углы максимумов. Сначала находим расстояние между штрихами, затем проверяем, для каких целых m существует угол. Условие |sinφ| ≤ 1 сразу ограничивает число возможных порядков.
Ответ: наибольший порядок — третий; максимумы порядков 1, 2 и 3 расположены под углами примерно ±17,5°, ±36,9° и ±64,2°. Также имеется центральный максимум нулевого порядка при φ = 0°.
Задача 3. Решётка содержит 5000 освещённых штрихов и работает во втором порядке. Нужно выяснить, сможет ли она разрешить линии 500,0 и 500,1 нм. Разрешающая способность связывает порядок и число штрихов с наименьшей различимой разностью длин волн. Сначала найдём требование к разрешению, затем сравним его с расстоянием между линиями.
Ответ: решётка сможет разрешить эти линии, поскольку 0,1 нм > 0,05 нм.
В формулу иногда подставляют только ширину щели или только ширину непрозрачного промежутка вместо периода. Так происходит, когда период путают с одним элементом решётки; на деле он охватывает и щель, и промежуток до следующей. Проверьте себя: период измеряется от середины одной щели до середины соседней, а для числа штрихов n на единицу длины d = 1/n.
Условие d·sinφ = λ применимо только к первому порядку, потому что в нём не записан общий множитель m. Если использовать его для всех максимумов, остальные спектральные полосы будут потеряны. Подставьте номер рассматриваемого порядка в d·sinφ = mλ и проверьте, что при m = 0 получается центральный максимум, а при m = 1 — первый.
Иногда ищут максимум для порядка, при котором mλ > d. Тогда вычисленное значение sinφ оказалось бы больше единицы, а такого угла не существует. До расчёта угла проверьте ограничение |m|λ ≤ d и выбирайте только целые порядки, которые ему удовлетворяют. Если условие нарушено, соответствующий максимум на экране не появится.
Ещё одна ошибка — отсчитывать φ от плоскости решётки, хотя в формуле он измеряется от нормали, то есть перпендикуляра к её поверхности. Путаница возникает потому, что оба угла можно увидеть геометрически, но они дополняют друг друга до 90°. Чтобы проверить выбор, при центральном максимуме используйте φ = 0: его направление совпадает с нормалью.
Для понимания решётки понадобятся интерференция света и принцип Гюйгенса: каждая щель рассматривается как источник вторичной волны, а результат зависит от сложения волн. Условие d·sinφ = mλ следует из условия усиления при разности хода, кратной длине волны. При решении задач важно уметь переводить число штрихов на единицу длины в период и работать с синусом и обратной тригонометрической функцией.
Дифракционные решётки применяют в спектральных приборах, чтобы разделять свет по длинам волн. По спектру можно определять состав веществ, а по положению максимумов — измерять длину волны. Связь между порядком спектра, числом освещённых штрихов и разрешающей способностью объясняет, почему решётка полезна для различения близких спектральных линий.
Почему дифракционная решётка даёт более узкие и яркие максимумы, чем одна щель?
Световые волны от множества щелей складываются, усиливаясь только в направлениях, где они приходят синфазно. В остальных направлениях волны частично или почти полностью гасят друг друга. Поэтому максимумы решётки уже и заметнее, чем дифракционная картина от одной щели.
Что означает порядок спектра и почему он может быть только целым числом?
Порядок m показывает, во сколько длин волн укладывается разность хода волн от соседних щелей: d·sinφ = mλ. Целое значение означает, что волны приходят синфазно и создают главный максимум. Нулевой порядок — центральный максимум, а ненулевые порядки расположены по обе стороны от него.
Почему максимум нулевого порядка не разлагается в спектр?
Для нулевого порядка m = 0, поэтому из условия d·sinφ = mλ следует φ = 0 для любой длины волны. Все цвета света накладываются в одном направлении — по нормали к решётке. Поэтому центральный максимум остаётся белым.
Как определить, какие порядки спектра вообще могут наблюдаться?
Нужно проверить, можно ли для данного порядка получить допустимое значение синуса: |sinφ| = |m|λ/d ≤ 1. Значит, должно выполняться |m|λ ≤ d. Наибольший порядок — наибольшее целое число, не превышающее d/λ.
Чем определяется способность решётки различать близкие длины волн?
Она характеризуется разрешающей способностью R = λ/Δλ, где Δλ — наименьшая разность длин волн, которую ещё удаётся различить. Для решётки R = mN, где m — порядок спектра, а N — число освещённых штрихов. Поэтому способность различать близкие линии растёт с увеличением порядка и числа освещённых штрихов.
§ 35. Дифракционная решетка
