4. Дифракционная решётка

Определения и обозначения

Дифракционная решётка — оптический прибор с большим числом параллельных равноотстоящих щелей. Свет проходит через щели и распространяется за ними, поэтому волны от разных щелей накладываются и образуют чередование ярких и тёмных областей. Множество щелей позволяет получить чёткие максимумы, положение которых можно измерять.

Период дифракционной решётки — расстояние между серединами соседних щелей; его обозначают d. Если на отрезке длиной L нанесено n штрихов, число штрихов на единицу длины равно N = n/L, а период d = 1/N. Эта связь нужна, чтобы перевести характеристику решётки из «штрихов на миллиметр» в расстояние, которое можно подставить в формулу.

Главный максимум — яркая полоса, возникающая при согласованном сложении волн от всех щелей. Направление полосы задаёт разность хода волн от соседних щелей: если она равна целому числу длин волн, волны приходят в фазе и усиливаются. Поэтому для нахождения положения максимума сравнивают период решётки и длину волны.

Порядок спектра — целое число k, которым обозначают конкретный главный максимум. Центральный максимум имеет k = 0, а боковые максимумы — ненулевые значения, например k = ±1 или k = ±2. Порядок помогает различать максимумы и учитывать их при расчётах для разных длин волн.

Как это устроено

Когда свет падает на решётку, каждая щель становится источником вторичных волн. За решёткой эти волны распространяются в разных направлениях и накладываются друг на друга. Для соседних щелей расстояние между источниками равно периоду d, поэтому при изменении направления меняется и разность пройденных волнами расстояний. Именно это изменение создаёт направления, в которых свет усиливается или ослабляется.

Пусть свет наблюдают под углом φ к направлению, перпендикулярному плоскости решётки. При такой геометрии волна от одной щели проходит относительно волны от соседней дополнительный путь Δ = d sin φ. Усиление происходит, когда разность хода равна целому числу длин волн: Δ = kλ. Отсюда получается условие главных максимумов d sin φ = kλ, где λ — длина волны, а k — целое число; для противоположной стороны центрального максимума угол можно считать отрицательным.

Для двух щелей усиление заметно при подходящей разности хода, но у решётки щелей много. В направлении, где волны от всех щелей совпадают по фазе, их амплитуды складываются, и максимум становится ярким. В соседних направлениях фазы быстро расходятся: вклады разных щелей в основном взаимно гасятся. Поэтому при большом числе щелей главные максимумы получаются узкими, а между ними свет слабее.

Чтобы найти угол максимума, из условия решётки получают sin φ = kλ/d, а затем вычисляют φ. Но синус угла не может быть больше единицы по модулю, поэтому должно выполняться |kλ| ≤ d. Это ограничивает допустимые порядки: целое число k, не удовлетворяющее неравенству, не соответствует реальному направлению распространения. Для центрального максимума k = 0 условие выполняется всегда.

В белом свете одновременно присутствуют волны разных длин. При одном и том же порядке k отношение kλ/d различно для разных цветов, значит, различаются и углы φ: длинноволновый красный свет отклоняется дальше коротковолнового фиолетового. Центральный максимум остаётся белым, поскольку при k = 0 все длины волн идут в одном направлении. По обе стороны от него располагаются спектры первого, второго и других возможных порядков.

Главные максимумы дифракционной решётки

Сначала определите известные величины и убедитесь, что период и длина волны выражены в одинаковых единицах. Затем выберите строку с условием максимума и выразите нужную величину. Неравенство для порядка проверяйте отдельно: оно показывает, существует ли максимум с заданными параметрами.

Разбор задач

Задача 1. Решётка имеет 500 штрихов на миллиметр. Найдите угол первого главного максимума для света с длиной волны 600 нм.

1. Число штрихов на единицу длины N = 500 мм⁻¹, поэтому период d = 1/N = 1/500 мм = 0,002 мм.
2. Переведём период: 0,002 мм = 2 мкм = 2000 нм. Теперь d и λ выражены в нанометрах.
3. Для первого порядка k = 1: sin φ = kλ/d = 600/2000 = 0,3. Следовательно, φ = arcsin 0,3 ≈ 17,5°.

Ответ: угол первого максимума приблизительно равен 17,5°. Перед вычислением угла полезно проверить, что отношение kλ/d не больше единицы.

Задача 2. Для решётки с периодом 2,0 мкм максимум второго порядка наблюдается под углом 30°. Определите длину волны света.

1. Запишем условие d sin φ = kλ и выразим неизвестную длину волны: λ = d sin φ/k.
2. Подставим d = 2,0 мкм, φ = 30° и k = 2. Так как sin 30° = 0,5, получаем λ = 2,0 · 0,5/2 мкм.
3. Вычисляем: λ = 0,5 мкм. Переведём результат: 0,5 мкм = 500 нм.

Ответ: длина волны равна 500 нм. В этой задаче деление на порядок необходимо: при большем k тот же угол соответствует меньшей длине волны.

Задача 3. Решётка с периодом 1,5 мкм освещена белым светом с длинами волн от 400 до 700 нм. Определите, какие порядки спектра возможны для всего диапазона и могут ли спектры разных порядков перекрываться.

1. Для порядка, существующего при всех длинах волн, проверим край λ = 700 нм: должно быть |k| · 700 ≤ 1500. Подходят k = 0, ±1 и ±2; третий порядок для длинных волн всего диапазона невозможен.
2. Для первого порядка спектр занимает углы от arcsin(400/1500) ≈ 15,5° до arcsin(700/1500) ≈ 27,8°. Для второго — от arcsin(800/1500) ≈ 32,2° до arcsin(1400/1500) ≈ 69°.
3. Эти диапазоны не пересекаются, значит, спектры первого и второго порядков не перекрываются. Однако у третьего порядка возможны короткие волны: его углы начинаются примерно с arcsin(1200/1500) ≈ 53,1°, что попадает в область второго порядка.

Ответ: для всего диапазона существуют центральный, первый и второй порядки с обеих сторон. Спектры первого и второго порядков не перекрываются, но часть спектра третьего порядка перекрывается со вторым.

Типичные ошибки

Подстановка числа штрихов вместо периода меняет смысл формулы: N измеряется в обратных единицах длины, а d — в единицах длины. Путаница появляется, когда из условия сразу переносят число штрихов в расчёт, не находя расстояние между щелями. Проверьте размерность: в произведении d sin φ = kλ слева и справа должны стоять длины. Если дано N, сначала вычислите d = 1/N.

Запись d sin φ = λ справедлива только для первого порядка, когда k = 1. Её часто запоминают как универсальную формулу и забывают, что у максимумов есть разные порядки. Перед подстановкой явно укажите k и проверьте, не требуется ли найти максимум второго или более высокого порядка. Общая запись всегда содержит множитель kλ.

Угол φ могут подставить в синус некорректно или отсчитать не от той линии. В используемой здесь схеме это угол между направлением максимума и нормалью к решётке, а калькулятор должен считать синус в выбранной единице измерения. Проверьте настройку градусов, если условие дано в градусах, и нарисуйте нормаль, чтобы отличить этот угол от угла между падающим и дифрагированным лучами.

Иногда считают, что любой целый k задаёт существующий максимум. Но при |kλ| > d потребовалось бы значение |sin φ| > 1, невозможное для реального угла. Перед выводом о порядке сравните |kλ| с d; при поиске наибольшего порядка возьмите целую часть числа d/λ. Так можно обнаружить недопустимый ответ ещё до вычисления угла.

Связь с другими темами

Для объяснения решётки нужны волновая природа света и интерференция: именно сложение волн создаёт яркие и тёмные области. Условие усиления волн при разности хода, кратной длине волны, используется в формуле главных максимумов. В задачах также понадобятся перевод единиц длины и вычисление синуса угла; следите, чтобы период и длина волны были выражены одинаково.

Решётка разлагает свет в спектр и позволяет измерять длины волн по углам максимумов. Поэтому её применение связано со спектральным анализом и устройством оптических приборов. Измерив угол, период и порядок, можно найти длину волны, а сравнивая спектры — исследовать состав излучения.

Что запомнить

• Решётка состоит из множества равноотстоящих щелей.
• Период решётки обозначают d.
• Главные максимумы удовлетворяют условию d sin φ = kλ.
• Центральный максимум имеет порядок k = 0.
• Для боковых максимумов порядок k — ненулевое целое число.
• Максимально возможный порядок ограничен условием |kλ| ≤ d.
• В белом свете длины волн отклоняются по-разному, образуя спектры.