4. Дифракционная решётка

Определения и обозначения

Дифракционная решётка — система большого числа параллельных, равноотстоящих прозрачных щелей. В отличие от одной щели, она создаёт интерференционную картину от множества источников, поэтому максимумы получаются значительно более узкими и яркими. Решётку применяют для разложения света в спектр и измерения длины волны.

Период дифракционной решётки обозначают буквой d. Это расстояние между серединами соседних щелей: d = a + b, где a — ширина прозрачной щели, а b — ширина непрозрачного промежутка. Если на единице длины расположено N штрихов, то d = 1/N, если длины измерены в согласованных единицах.

Главный максимум — направление, в котором свет от всех щелей усиливается. Он возникает, когда волны от соседних щелей приходят с разностью хода, кратной длине волны. Тогда их фазы совпадают, и наблюдается яркая полоса.

Порядок спектра — целое число m, задающее положение максимума. Значение m = 0 соответствует центральному максимуму, а числа ±1, ±2 и далее — боковым максимумам по разные стороны от него. Порядок позволяет различать максимумы и использовать их для расчётов.

Как это устроено

Рассмотрим две соседние щели, на которые падает плоская световая волна. В направлении под углом φ путь от дальней щели до наблюдателя оказывается длиннее, чем от ближней, на величину d·sinφ. При φ = 0 оба пути равны, а при увеличении угла разность хода возрастает. Угол здесь отсчитывают от нормали к плоскости решётки, то есть от центрального направления.

Усиление происходит, если разность хода равна целому числу длин волн: d·sinφ = mλ. Здесь d — период решётки, φ — угол дифракции, λ — длина волны света, а m — целое число, называемое порядком максимума. При такой разности хода соседние волны приходят в одинаковой фазе, потому что одна волна совершает на целое число колебаний больше другой.

У решётки много щелей, и каждая из них посылает свет в выбранное направление. Если условие максимума не выполняется, фазы волн различаются, поэтому при сложении часть колебаний взаимно ослабляется. При согласованных фазах вклады всех щелей складываются, интенсивность резко возрастает. Чем больше щелей, тем уже максимум и тем точнее его положение.

Условие содержит длину волны λ, поэтому волны разных цветов усиливаются под разными углами. Для большей длины волны при том же порядке требуется большее значение sinφ, а значит, и больший угол. Поэтому белый свет после решётки разделяется на цветные спектры, расположенные по обе стороны от центрального максимума.

Так как |sinφ| не может быть больше единицы, максимум существует только при |mλ/d| ≤ 1, или |m| ≤ d/λ. Из этого отношения выбирают целые допустимые значения m. Максимумы с положительными и отрицательными порядками симметричны: им соответствуют углы одинаковой величины, но противоположных знаков.

Основные величины и закономерности дифракционной решётки

Сначала определите известные величины и приведите их к одинаковым единицам. Затем выберите строку с условием главного максимума или ограничением на порядок и выразите неизвестную величину.

Если нужно найти угол, вычисляйте сначала sinφ, а затем применяйте обратную тригонометрическую функцию. Значение синуса не может превышать единицу — это позволяет проверить физическую допустимость результата.

Разбор задач

Задача 1

Решётка имеет период d = 2 мкм. Найдём угол максимума первого порядка для λ = 500 нм. Порядок равен m = 1.

1. Переведём длину волны: 500 нм = 0,5 мкм.
2. Подставим данные: sinφ = mλ/d = 1·0,5/2 = 0,25.
3. Вычислим угол: φ = arcsin 0,25 ≈ 14,5°.

Ответ: максимум первого порядка наблюдается под углом примерно 14,5° к центральному направлению.

Задача 2

Для решётки с d = 4 мкм максимум второго порядка наблюдается при φ = 30°. Требуется найти длину волны.

1. Запишем условие: d·sinφ = mλ.
2. Выразим длину волны: λ = d·sinφ/m.
3. Подставим значения: λ = 4 мкм·0,5/2 = 1 мкм = 1000 нм.
4. Проверим результат: mλ/d = 2·1/4 = 0,5, поэтому такой угол физически возможен.

Ответ: длина волны равна 1 мкм.

Задача 3

Решётка содержит 500 штрихов на 1 мм, λ = 600 нм. Найдём период, допустимые порядки и углы первых двух максимумов.

1. Период d = 1/500 мм = 0,002 мм = 2 мкм.
2. Максимальный порядок: m ≤ d/λ = 2/0,6 ≈ 3,33, поэтому m_max = 3.
3. Для первого порядка sinφ₁ = 0,6/2 = 0,3, откуда φ₁ ≈ 17,5°.
4. Для второго порядка sinφ₂ = 1,2/2 = 0,6, откуда φ₂ ≈ 36,9°.

Ответ: максимально возможен третий порядок; углы первых двух порядков примерно 17,5° и 36,9° по обе стороны от центрального максимума.

Типичные ошибки

Путают период со щелью. Период — не ширина прозрачного участка, а сумма ширин щели и промежутка: d = a + b. Проверьте, измеряете ли вы расстояние между одинаковыми точками соседних щелей.

Берут неверный угол. В формулу подставляют угол к поверхности решётки или угол падения вместо угла дифракции. Перед расчётом уточните, что φ отсчитывается от нормали и центрального направления.

Забывают множитель m. Тогда максимум любого порядка ошибочно считают первым. Подпишите порядок у каждого максимума и используйте d·sinφ = mλ.

Не проверяют синус. Если расчёт даёт |sinφ| > 1, такой максимум невозможен, а не имеет необычный угол. Сначала сравните |mλ/d| с единицей.

Связь с другими темами

Для понимания решётки нужны интерференция и дифракция: именно сложение волн и разность хода объясняют появление максимумов. Также пригодятся связь λ = c/ν, тригонометрия, перевод единиц длины и вычисление периода по числу штрихов.

Дифракционная решётка связана со спектральным анализом: по углам максимумов определяют длины волн и состав излучения. Этот принцип используют в спектрометрах и других оптических приборах.

Что запомнить

• Период решётки — расстояние между соответствующими точками соседних щелей: d = a + b.
• Главные максимумы удовлетворяют условию d·sinφ = mλ.
• Центральный максимум имеет порядок m = 0.
• Чем больше длина волны, тем больше угол отклонения максимума одного порядка.
• Для белого света разные длины волн отклоняются на разные углы и образуют спектры.
• Возможны только порядки, для которых |mλ/d| ≤ 1.
• Большое число щелей делает максимумы более узкими и яркими.