§ 72. Дифракционная решетка

Определения и обозначения

Дифракционная решётка — множество параллельных равноотстоящих щелей, на которых свет испытывает дифракцию, то есть огибает края и распространяется в области геометрической тени. Свет от щелей накладывается и создаёт общую интерференционную картину. Решётка нужна, чтобы разделять свет по длинам волн и изучать его спектр.

Период решётки d — расстояние между серединами соседних щелей. Он складывается из ширины прозрачной щели и ширины непрозрачного промежутка между щелями. Период нужен для расчёта разности хода и углов, под которыми наблюдаются максимумы.

Главный максимум — направление, в котором волны от всех щелей усиливают друг друга. Это происходит, когда разность хода волн от соседних щелей равна целому числу длин волн; тогда их фазы совпадают. Главные максимумы образуют яркие полосы, по положению которых судят о длине волны.

Порядок максимума k — целое число, обозначающее главный максимум. Центральному максимуму соответствует k = 0, а максимумы по разные стороны от него имеют противоположные знаки k. Порядок показывает, во сколько длин волн укладывается разность хода соседних волн.

Как это устроено

Решётку получают, нанося на прозрачную пластинку большое число параллельных равноотстоящих штрихов: прозрачные участки между ними работают как щели. Свет, проходя через каждую щель, дифрагирует и распространяется в разных направлениях. Поскольку щели расположены регулярно, волны от них приходят в выбранную точку с определёнными разностями хода и складываются, образуя общую интерференционную картину.

Рассмотрим лучи, вышедшие из двух соседних щелей и направленные под углом φ к перпендикуляру к решётке. Один луч проходит чуть дальше другого: разность хода равна проекции расстояния между щелями на направление распространения, то есть d sin φ. При φ = 0 лучи проходят одинаковые расстояния, а при отклонении от центрального направления разность хода возрастает.

Волны усиливаются, если разность хода равна целому числу длин волн: d sin φ = kλ. Здесь d — период решётки, φ — угол наблюдения максимума, λ — длина волны, а k — целый порядок максимума. При k = 0 получаем центральный максимум; ненулевые значения k задают максимумы по обе стороны от него. Между главными максимумами волны в основном гасят друг друга, поэтому там свет слабее.

Если известны d, k и угол φ, длину волны находят преобразованием условия: λ = d sin φ / k, когда k ≠ 0. Например, измеряют положение максимума относительно центрального, определяют угол и подставляют его синус в формулу. Все длины нужно сначала выразить в одинаковых единицах, а угол — использовать так, чтобы значение синуса соответствовало измеренному углу.

Белый свет состоит из волн разных длин, и для каждого цвета условие решётки выполняется при своём угле: более длинная волна при одном и том же порядке отклоняется сильнее. Поэтому по обе стороны от центрального максимума появляются спектры разных порядков. Спектры соседних порядков могут перекрываться, если для разных длин волн произведения kλ совпадают или близки: тогда максимумы попадают под одинаковые или почти одинаковые углы.

Величины и условия для дифракционной решётки

Сначала определите, какие величины заданы и какую требуется найти, затем выберите подходящую запись условия максимума. В расчётах d и λ выражайте в одинаковых единицах. После нахождения синуса угла проверьте, что его модуль не превышает единицу.

Разбор задач

Первый главный максимум

Условие. На решётку с периодом d = 2,0 мкм нормально падает монохроматический свет с длиной волны λ = 500 нм. Найти угол первого главного максимума.

1. Для первого максимума выбираем k = 1. Записываем условие d sin φ = kλ.
2. Переводим единицы: d = 2,0 · 10⁻⁶ м, λ = 5,0 · 10⁻⁷ м. Тогда sin φ = kλ/d = 0,25.
3. Находим угол: φ = arcsin 0,25 ≈ 14,5°.

Ответ. Первый максимум наблюдается под углом примерно 14,5° к перпендикуляру.

Найти длину волны

Условие. Период решётки d = 1,2 мкм, максимум второго порядка наблюдается под углом 30°. Определить длину волны.

1. Из условия максимума выражаем неизвестное: λ = d sin φ / k.
2. Подставляем k = 2 и sin 30° = 0,5: λ = 1,2 мкм · 0,5 / 2 = 0,30 мкм.
3. Переводим результат: 0,30 мкм = 300 нм. Единицы согласованы, поскольку период и длина волны в расчёте были выражены в микрометрах.

Ответ. Длина волны равна 300 нм.

Угловое расстояние между линиями спектра

Условие. Для решётки с периодом d = 2,0 мкм найти угловое расстояние между линиями с длинами волн 400 и 600 нм в спектре второго порядка. Проверить, существует ли максимум этого порядка для обеих линий.

1. Для первой линии sin φ₁ = kλ₁/d = 2 · 400/2000 = 0,4, поэтому φ₁ ≈ 23,6°.
2. Для второй линии sin φ₂ = 2 · 600/2000 = 0,6, поэтому φ₂ ≈ 36,9°.
3. Оба значения синуса не превышают единицу, значит максимумы существуют. Угловое расстояние равно φ₂ − φ₁ ≈ 13,3°.

Ответ. Максимумы существуют для обеих линий, а расстояние между ними составляет около 13,3°.

Типичные ошибки

Период решётки путают с шириной отдельной щели, потому что обе величины относятся к её геометрии. Но в условие максимума входит расстояние между серединами соседних щелей, а оно включает и щель, и непрозрачный промежуток. Перед расчётом найдите именно этот промежуток между центрами; если заданы обе ширины, сложите их.

Иногда разность хода записывают как d или d tg φ. Так происходит, когда расстояние между щелями принимают за пройденный путь или неверно выбирают геометрическую проекцию. Правильное выражение — d sin φ; при φ = 0 оно даёт нулевую разность хода, что соответствует центральному максимуму.

Порядок максимума нельзя выбирать произвольным вещественным числом: k — целое, а его знак указывает сторону от центрального максимума. Центральному максимуму соответствует только k = 0. Проверьте, что используете целый порядок, и не путайте его со значением угла или длины волны.

Вычисляя угол, иногда получают синус больше единицы и всё же продолжают расчёт. Такой результат невозможен: для максимума должно выполняться |kλ/d| ≤ 1. Если проверка не проходит, значит при заданных периоде и длине волны этот порядок отсутствует; также стоит перепроверить перевод единиц и подстановку.

Связь с другими темами

Для понимания решётки нужны знания о дифракции света, интерференции волн и условии их усиления по разности хода. Дифракция объясняет, почему свет распространяется от щелей в разных направлениях, а интерференция — почему в одних направлениях появляются яркие максимумы, а в других свет ослабляется.

Решётки используют для разложения света в спектр и измерения длины волны. Это связывает тему с устройством спектральных приборов и волновой оптикой: по положению световых линий можно исследовать излучение и сравнивать его длины волн.

Что запомнить

• Период решётки — расстояние между соседними щелями.
• Разность хода волн от соседних щелей равна d sin φ.
• Главные максимумы удовлетворяют условию d sin φ = kλ.
• Для центрального максимума k = 0.
• Порядок максимума k принимает целые значения.
• Угол максимума зависит от длины волны, поэтому решётка разделяет свет в спектр.
• Для существования максимума необходимо, чтобы |kλ/d| не превышало 1.