§ 2.12. Дифракционная решетка

Определения и обозначения

Дифракционная решётка — система большого числа одинаковых, параллельных и равноотстоящих щелей. Прозрачные щели разделены непрозрачными промежутками, поэтому каждая щель пропускает часть световой волны. Большое число щелей делает интерференционные максимумы узкими и хорошо различимыми.

Период решётки d — расстояние между серединами соседних щелей. Если ширина прозрачной щели равна a, а непрозрачного промежутка — b, то d = a + b. Именно расстояние между повторяющимися элементами решётки, а не только ширина щели, определяет положение главных максимумов.

Главный максимум — яркая полоса, возникающая, когда волны от всех щелей приходят в согласованной фазе и усиливают друг друга. Его положение задаётся условием d sin φ = mλ. Здесь φ — угол между направлением падающего света и направлением на максимум.

Порядок максимума m — целое число, показывающее, какой максимум рассматривается. При m = 0 находится центральный максимум, а положительные и отрицательные значения обозначают максимумы по разные стороны от него. Реально наблюдаться могут только максимумы, для которых |mλ/d| ≤ 1.

Как это устроено

По принципу Гюйгенса каждая щель становится источником вторичных волн. После прохождения решётки эти волны распространяются в разных направлениях и накладываются друг на друга. Поэтому яркость в выбранном направлении определяется не одной щелью, а результатом интерференции волн от всей решётки.

Рассмотрим соседние щели и направление, образующее угол φ с нормалью к решётке. Волна от дальней щели проходит до этого направления путь, отличающийся от пути волны от ближней щели на d sin φ. Для всех соседних пар эта разность одинакова, потому что щели расположены через одинаковые промежутки.

Если разность хода равна целому числу длин волн, d sin φ = mλ, соседние волны приходят в фазе. Тогда совпадают и фазы волн от всех щелей, поэтому возникает яркий главный максимум. Если условие нарушено, усиление от одних пар частично компенсируется ослаблением от других, и свет становится значительно слабее.

При m = 0 равенство даёт sin φ = 0 и φ = 0. Это центральный максимум в направлении прямого прохождения света. Максимумы с m = 1, 2, 3 и с отрицательными порядками располагаются симметрично по обе стороны от центрального, если свет падает нормально.

Угол не может иметь синус по модулю больше единицы, поэтому должно выполняться |mλ/d| ≤ 1. Чем больше длина волны при неизменном d, тем меньше максимально возможный порядок. Для одного и того же порядка равенство sin φ = mλ/d показывает: большая длина волны даёт больший угол, и разные цвета расходятся в разные стороны.

Параметры дифракционной решётки и главных максимумов

Сначала найдите в условии известные d, λ, φ или m, а затем выберите строку с нужной формулой. При вычислениях следите, чтобы единицы длины были одинаковыми: например, метры переведите в нанометры или наоборот.

Таблица также помогает проверить результат: после нахождения m нужно убедиться в условии существования, а после нахождения угла — использовать φ = arcsin(mλ/d), а не просто записать φ = mλ/d.

Разбор задач

Задача 1

На решётку с периодом d = 2,0 мкм нормально падает свет с длиной волны λ = 500 нм. Требуется найти угол первого главного максимума. Поскольку рассматривается первый порядок, берём m = 1 и применяем уравнение решётки.

1. Приведём единицы к одному виду: 2,0 мкм = 2000 нм.
2. Подставим данные: sin φ = mλ/d = 1 · 500/2000 = 0,25.
3. Найдём угол: φ = arcsin 0,25 ≈ 14,5°.

Ответ: угол первого максимума равен примерно 14,5° относительно направления падающего света.

Задача 2

Для решётки известны период d и длина волны λ. Нужно определить наибольший возможный порядок главного максимума. Ограничение появляется потому, что синус любого действительного угла по модулю не превосходит единицы.

1. Запишем условие существования: |mλ/d| ≤ 1.
2. Перенесём величины: |m| ≤ d/λ.
3. Возьмём наибольшее целое число, не превышающее d/λ: m_max = ⌊d/λ⌋.

Ответ: наибольший порядок равен целой части отношения d/λ. Если это отношение, например, равно 3,7, возможны порядки до третьего включительно.

Задача 3

Монохроматический свет падает нормально на решётку, и максимум второго порядка наблюдается под углом φ. Требуется найти длину волны и проверить возможность третьего порядка. Из условия известно m = 2, поэтому сначала выражаем λ, а затем используем то же ограничение для m = 3.

1. Из уравнения d sin φ = 2λ получаем λ = d sin φ/2.
2. Для третьего порядка проверяем 3λ/d ≤ 1.
3. Подставляя найденную длину волны, получаем 3 sin φ/2 ≤ 1, или sin φ ≤ 2/3.

Ответ: длина волны равна d sin φ/2. Максимум третьего порядка возможен, если sin φ ≤ 2/3; при большем значении третий максимум не возникает.

Типичные ошибки

Период подменяют шириной щели. Такая ошибка возникает, когда рассматривают только прозрачную часть решётки и забывают о промежутке до следующей щели. Проверьте себя: в формуле должно стоять расстояние между серединами соседних щелей, d = a + b.

Пишут sin φ = mλ/d как φ = mλ/d. Правая часть равна синусу угла, а не самому углу. После вычисления отношения используйте обратную функцию: φ = arcsin(mλ/d).

Считают порядок неограниченным. Целое число m ещё не гарантирует существование максимума, потому что синус не может быть больше единицы по модулю. Всегда проверяйте |mλ/d| ≤ 1.

Полагают, что большая длина волны даёт меньший угол. При фиксированных d и m величина sin φ прямо пропорциональна λ, поэтому угол увеличивается. Полезная проверка: красный свет отклоняется решёткой сильнее синего.

Связь с другими темами

Для понимания решётки нужны принцип Гюйгенса, интерференция волн, понятия разности хода и условия максимумов и минимумов. Решётка объединяет эти идеи: каждая щель создаёт волну, а большое число щелей усиливает результат в определённых направлениях.

Дифракционные решётки применяют для измерения длины волны и изучения спектров. Поэтому тема связана с волновой оптикой, исследованием состава излучения и спектральным анализом.

Что запомнить

• Решётка состоит из большого числа равноотстоящих щелей.
• Период d — расстояние между серединами соседних щелей.
• Главные максимумы удовлетворяют условию d sin φ = mλ.
• Центральному максимуму соответствует m = 0.
• Порядок m — целое число, но его значение ограничено условием |mλ/d| ≤ 1.
• При фиксированных d и m угол максимума увеличивается с длиной волны.