§ 2.11. Дифракция Фраунгофера

Определения и обозначения

Дифракция Фраунгофера — дифракция, при которой падающие на препятствие и рассеянные от него волны считают параллельными. Такие условия получают с помощью линз или при больших расстояниях до источника и экрана. Это позволяет изучать картину по направлениям распространения света.

Угол дифракции φ — угол между первоначальным направлением волны и направлением на выбранную точку дифракционной картины. Он показывает, насколько свет отклонился от прямолинейного распространения. Через этот угол находят разность хода волн и положения максимумов и минимумов.

Дифракционный минимум — направление, в котором интенсивность света равна нулю из-за взаимного гашения вторичных волн. Для одиночной щели такие направления определяются целым числом длин волн в разности хода. Минимумы разделяют светлые участки картины.

Центральный максимум — самая яркая и широкая полоса, расположенная напротив середины щели. В её центре угол дифракции равен нулю, поэтому волны от всех участков щели приходят почти синфазно. Ширину максимума определяют по первым минимумам с обеих сторон.

Как это устроено

Чтобы получить условия Фраунгофера, на щель направляют плоскую волну, то есть волну с плоским фронтом и одинаковым направлением распространения. После щели линза собирает лучи, идущие под одним углом, в одной точке своей фокальной плоскости. Поэтому экран в этой плоскости показывает распределение света по углам, хотя находится на конечном расстоянии от щели.

По принципу Гюйгенса–Френеля каждый участок открытой части волнового фронта можно считать источником вторичной волны. В щели таких участков очень много, поэтому волны от них одновременно приходят в одну точку экрана и складываются. В зависимости от разности фаз они усиливают друг друга, образуя максимум, или гасят друг друга, образуя минимум.

Рассмотрим лучи от двух краёв щели шириной b, идущие под углом φ. Один край оказывается дальше другого на отрезок Δ = b sin φ, поэтому именно эта величина определяет сдвиг фаз. При увеличении угла или ширины щели разность хода возрастает, а при увеличении длины волны одна и та же разность хода соответствует меньшему числу длин волн.

Первый минимум получается, когда щель можно разделить на две равные половины: каждой точке первой половины соответствует точка второй, а разность хода между ними равна λ/2. Все пары волн гасят друг друга, если общая разность хода от краёв равна λ, то есть b sin φ = λ. Для минимума порядка m аналогичное разбиение даёт условие b sin φ = mλ, где m = 1, 2, 3, …; такие минимумы симметричны относительно центра.

Центральный максимум находится при φ = 0, когда разность хода равна нулю и все вторичные волны усиливаются. Первый минимум слева и первый минимум справа расположены примерно при углах −λ/b и +λ/b для малых углов. Поэтому угловая ширина центральной полосы равна примерно 2λ/b: она растёт с длиной волны и уменьшается с шириной щели.

Основные характеристики дифракционной картины на одиночной щели

В таблице собраны основные элементы картины и формулы для их определения. Сначала находят нужный минимум, затем по его углу оценивают границы центрального максимума или положение точки на экране.

Разбор задач

Задача 1

Монохроматический свет имеет длину волны λ = 600 нм и падает на щель шириной b = 0,20 мм. Нужно найти угол первого минимума и угловую ширину центрального максимума. Поскольку отношение λ/b мало, можно воспользоваться приближением малых углов.

1. Переведём величины: λ = 6·10⁻⁷ м, b = 2·10⁻⁴ м.
2. Для первого минимума sin φ₁ = λ/b = 3·10⁻³, поэтому φ₁ ≈ 3·10⁻³ рад ≈ 0,17°.
3. Центральный максимум ограничен двумя первыми минимумами, значит Δφ ≈ 2φ₁ ≈ 6·10⁻³ рад ≈ 0,34°.

Ответ: угол первого минимума примерно 0,17°, угловая ширина центрального максимума — примерно 0,34°.

Задача 2

Картина наблюдается в фокальной плоскости линзы с f = 1,0 м, а длина волны равна 500 нм. Ширина центрального максимума на экране составляет 5,0 мм. Половина этой ширины соответствует расстоянию от центра до первого минимума, поэтому x₁ = 2,5 мм.

1. При малом угле φ₁ координата связана с углом формулой x₁ ≈ fφ₁.
2. Из условия первого минимума b sin φ₁ = λ и приближения sin φ₁ ≈ φ₁ получаем b ≈ λf/x₁.
3. Подставим значения: b = (5·10⁻⁷·1,0)/(2,5·10⁻³) = 2·10⁻⁴ м = 0,20 мм.

Ответ: ширина щели равна примерно 0,20 мм.

Задача 3

Щель имеет ширину b = 0,10 мм, длина волны света λ = 600 нм, фокусное расстояние линзы f = 0,50 м. Нужно определить относительную интенсивность при координате x = 4,5 мм. Используем I/I₀ = (sin β/β)² и сначала выразим угол через координату экрана.

1. φ ≈ x/f = 4,5·10⁻³/0,50 = 9·10⁻³ рад.
2. β = πb sin φ/λ ≈ π·10⁻⁴·9·10⁻³/(6·10⁻⁷) = 1,5π ≈ 4,71.
3. Тогда I/I₀ = (sin 4,71/4,71)² ≈ (−1/4,71)² ≈ 0,045.

Ответ: относительная интенсивность составляет примерно 0,045, или 4,5% от центральной.

Типичные ошибки

Подмена центрального максимума условием минимума. Формула b sin φ = mλ задаёт тёмные направления, а не центр картины. Ошибка возникает из-за попытки применить одну формулу ко всем элементам; проверить себя можно подстановкой φ = 0: центр должен быть светлым.

Путаница между шириной щели и шириной картины. Величина b описывает отверстие, а не расстояние между минимумами. При уменьшении b отношение λ/b увеличивается, значит дифракционная картина расширяется.

Забывают два края центрального максимума. Первый минимум есть с каждой стороны от центра, поэтому ширина равна примерно 2λ/b, а не λ/b. Полезно сначала отметить оба угла: −φ₁ и +φ₁.

Сводят дифракцию к геометрической тени. Обычная тень не объясняет чередование светлых и тёмных полос. Если в рассуждении нет интерференции волн от разных участков щели, причина явления потеряна.

Связь с другими темами

Для понимания дифракции нужны принцип Гюйгенса–Френеля, интерференция, понятие разности хода и связь угла с координатой в фокальной плоскости линзы. Эти идеи объясняют, почему одна щель создаёт систему максимумов и минимумов.

Результаты для одиночной щели используются при изучении дифракционных решёток и спектральных приборов. Они также помогают понять, почему разрешающая способность оптической системы зависит от длины волны и размера отверстия.

Что запомнить

• Дифракция Фраунгофера наблюдается для параллельных падающих и рассеянных волн.
• Картина возникает из-за интерференции вторичных волн от разных участков щели.
• Минимумы одиночной щели определяются условием b sin φ = mλ.
• Центральный максимум расположен при φ = 0.
• Ширина центрального максимума примерно равна 2λ/b.
• Чем уже щель, тем шире дифракционная картина.
• В фокальной плоскости линзы углы дифракции преобразуются в координаты на экране.