§ 2.10. Дифракция Френеля на простых объектах

Определения и обозначения

Дифракция Френеля — дифракция в области, где источник и экран находятся на конечных расстояниях от препятствия или отверстия, поэтому волны имеют заметную кривизну. Иными словами, нельзя считать, что свет падает на объект одинаково направленными параллельными лучами. Это понятие помогает отличить ближнюю дифракционную картину от картины дальней области.

Зона Френеля — участок волнового фронта, соседние зоны которого дают в точке наблюдения колебания с разностью фаз, близкой к π. Значит, колебания от соседних участков почти противофазны и частично компенсируют друг друга. Деление фронта на зоны позволяет оценить итоговую амплитуду света в выбранной точке.

Принцип Бабине — утверждение о связи дифракционных картин от непрозрачного тела и отверстия, которое дополняет это тело до сплошного экрана. Вне направления прямого луча их волновые поля связаны так, что картины помогают изучать друг друга. Принцип особенно полезен для объяснения света за непрозрачным диском.

Пятно Пуассона — светлое пятно в центре тени круглого непрозрачного диска, возникающее вследствие дифракции. Оно появляется не потому, что диск пропускает свет, а из-за сложения волн, огибающих его край. Это наглядный пример того, как волновая оптика уточняет представление о геометрической тени.

Как это устроено

При конечных расстояниях от источника до объекта и от объекта до экрана волновой фронт успевает заметно искривиться. Поэтому лучи, пришедшие к разным точкам отверстия или края, проходят неодинаковые пути до точки наблюдения. Их разности хода меняются от места к месту, и именно это создаёт неодинаковое сложение волн на экране. Если бы фронт был плоским и экран находился в дальней области, геометрия картины описывалась бы иначе.

Чтобы проследить за сложением, волновой фронт мысленно делят на зоны так, чтобы путь от границы каждой следующей зоны до точки наблюдения отличался примерно на λ/2. Тогда вклады соседних зон почти противоположны по фазе: максимум одной волны приходится примерно на минимум другой. Амплитуды соседних зон близки, но не совершенно одинаковы, поэтому их компенсация неполная. Если открыть нечётное число зон, обычно преобладает вклад последней зоны; если число открытых зон чётное, соседние вклады сильнее компенсируются.

У круглого отверстия границы открытой части могут совпадать с границами зон Френеля. При малом числе открытых зон их вклады заметно определяют освещённость в центре картины: добавление очередной зоны способно как усилить, так и ослабить свет. При большом числе зон соседние вклады в значительной степени компенсируются, а итог зависит от неполного взаимного сокращения и условий наблюдения. Поэтому центральная область отверстия не обязана быть одинаково яркой при изменении его размера или положения экрана.

Непрозрачный круглый диск закрывает центральную часть фронта, но не препятствует волнам от его края распространяться в геометрическую тень. На оси за диском симметричные участки края находятся в равных условиях, поэтому их волны приходят согласованно и создают центральный максимум. Принцип Бабине связывает поле за диском с полем за дополнительным к нему круглым отверстием; он показывает, почему закрытая прямым лучом область не обязательно остаётся тёмной. Светлый максимум в центре называют пятном Пуассона.

У прямого края фронт частично закрыт, а оставшаяся часть продолжает давать волны в область геометрической тени. Их амплитуды и фазы меняются с расстоянием от границы, поэтому освещённость колеблется и появляются чередующиеся полосы. В щели складываются вклады от двух краёв, причём их взаимное влияние зависит от ширины щели и числа укладывающихся в ней зон. Длина волны и расстояния от источника до щели и от щели до экрана меняют разности хода, а значит, и положение полос.

Дифракция Френеля на простых объектах

Сначала определите, какой объект рассматривается и где находится точка наблюдения, затем сопоставьте форму картины с открытыми участками волнового фронта. Центральная область показывает, насколько согласованно сложились вклады зон, а полосы и кольца помогают судить об изменении разности хода. Таблица даёт качественную картину: для расчёта размеров зон дополнительно нужны длина волны и расстояния в опыте.

Разбор задач

Задача 1

На круглое отверстие падает плоская монохроматическая волна длиной 600 нм. Экран расположен на расстоянии 1 м. Требуется определить радиус первой зоны Френеля по формуле r₁ = √(λb). Плоская волна означает, что расстояние от источника в этой формуле учитывать не нужно.

1. Переведём длину волны в метры: 600 нм = 600 · 10⁻⁹ м = 6 · 10⁻⁷ м.
2. Подставим данные: r₁ = √(6 · 10⁻⁷ м · 1 м) = √(6 · 10⁻⁷ м²).
3. Извлечём корень: r₁ ≈ 7,75 · 10⁻⁴ м, то есть около 0,78 мм. Соседние зоны дают почти противофазные вклады, поэтому их нельзя считать независимыми яркими источниками.

Ответ: радиус первой зоны Френеля приблизительно равен 0,78 мм. Радиусы зон растут как √n, поэтому в круглом отверстии может размещаться несколько таких участков. Результирующую освещённость определяет сложение амплитуд с учётом фаз.

Задача 2

Круглый непрозрачный диск закрывает прямой ход света, однако в центре его геометрической тени наблюдают светлое пятно. Нужно объяснить, откуда берётся свет, если диск не пропускает волну. Рассмотрим не лучи, которые проходят сквозь диск, а волны, распространяющиеся от открытых участков рядом с его краем.

1. По принципу Гюйгенса—Френеля каждый участок открытого волнового фронта можно рассматривать как источник вторичных волн.
2. Волны от разных участков края огибают диск и доходят до точки на оси за ним. Благодаря круговой симметрии их пути и фазы в этой точке согласованы.
3. Амплитуды складываются, поэтому освещённость на оси не обращается в ноль, а образуется центральный максимум. Это рассуждение согласуется с принципом Бабине, связывающим картины от диска и дополняющего его отверстия.

Ответ: светлое пятно Пуассона создают волны, дифрагирующие на краю диска и складывающиеся в центре его геометрической тени. Диск не пропускает свет, но не устраняет волновые процессы за своей границей. Поэтому геометрическая тень не обязана быть полностью тёмной.

Задача 3

Монохроматический свет проходит через щель известной ширины; источник и экран находятся на конечных расстояниях от щели. Требуется определить, сколько зон Френеля укладывается в ширине щели, и предсказать картину. Обозначим расстояние от источника до щели через a, расстояние от щели до экрана через b, ширину щели через d, длину волны через λ.

1. Для осевой точки экрана при конечных a и b радиус n-й зоны приближённо равен rₙ ≈ √(nλab/(a + b)). Эта формула учитывает изменение пути как от источника до щели, так и от щели до экрана.
2. Найдём число зон по условию d ≈ rₙ: n ≈ d²(a + b)/(λab). Подставим измеренные d, a, b и λ; если результат не целый, он показывает приблизительную долю последней зоны.
3. Если в щели укладывается нечётное число зон, результирующая амплитуда обычно больше, чем при чётном числе, потому что соседние вклады преимущественно компенсируются попарно. На экране ожидаются чередующиеся светлые и тёмные области, симметричные относительно оси щели.

Ответ: число зон определяется выражением n ≈ d²(a + b)/(λab), а для конкретного численного результата необходимы значения всех четырёх величин. По чётности числа зон можно качественно оценить освещённость в центре, но точную яркость без учёта амплитуд и фаз отдельных участков найти нельзя. Расчёт показывает, почему одного размера щели недостаточно для предсказания картины.

Типичные ошибки

Считать любую дифракцию дифракцией Фраунгофера. Такое смешение возникает, потому что оба явления связаны с отклонением света от прямолинейного распространения. Проверьте расстояния и форму фронта: если кривизна заметна, нужна модель Френеля; дальнюю область можно приближённо описывать как дифракцию Фраунгофера.

Полагать, что непрозрачный диск создаёт только тёмную геометрическую тень. Так рассуждают, если учитывать лишь прямые лучи и забывать об огибании препятствия. Проверьте вывод по волновой картине: на оси за круглым диском возможен максимум — пятно Пуассона.

Складывать интенсивности соседних зон напрямую. Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, но сначала складываются сами колебания с их фазами. Ошибку допускают, принимая зоны за независимые источники света. Для проверки сравните разность фаз: у соседних зон она близка к π, поэтому их амплитуды частично компенсируются.

Использовать формулу радиуса зоны для плоской волны при конечном источнике. Формула rₙ ≈ √(nλb) предполагает плоскую волну, а источник на конечном расстоянии добавляет вклад в геометрию пути. Сначала изобразите расположение источника, объекта и экрана и обозначьте расстояния. Если источник удалён на расстояние a, учитывайте обе части пути: rₙ ≈ √(nλab/(a + b)).

Связь с другими темами

Для объяснения дифракции нужны принцип Гюйгенса—Френеля, интерференция, разность хода и условия максимумов и минимумов: они описывают, как складываются волны. С геометрической оптикой тему связывает сравнение идеальной границы тени с реальной картиной, где свет проникает в область за краем. Понимание зон Френеля помогает перейти к дифракции Фраунгофера и дифракционным решёткам. Эти знания используют при изучении разрешающей способности оптических приборов и волновой природы света.

Что запомнить

• Дифракция Френеля наблюдается при конечных расстояниях между источником, объектом и экраном.
• Картину удобно объяснять с помощью зон Френеля.
• Соседние зоны дают вклады, близкие по величине и противоположные по фазе.
• Дифракция на отверстии и на непрозрачном теле связана принципом Бабине.
• За круглым диском может возникать светлое пятно Пуассона.
• Вид и масштаб картины зависят от длины волны и расстояний в опыте.