§ 2.9. Теория дифракции

Определения и обозначения

Дифракция света — огибание световыми волнами препятствий и расширение пучка при прохождении через узкие отверстия. Заметной она становится, когда размер отверстия или препятствия сравним с длиной волны λ. Это понятие нужно, чтобы объяснить отклонение света от законов геометрической оптики.

Принцип Гюйгенса — Френеля утверждает, что каждая точка волнового фронта может рассматриваться как источник вторичной волны, а наблюдаемое поле получается их сложением. При этом учитываются не только направления волн, но и их фазы. Принцип связывает распространение волны с интерференцией.

Зона Френеля — участок волнового фронта, от которого соседняя зона отличается по ходу на половину длины волны, то есть на λ/2. Поэтому колебания от соседних зон приходят почти в противофазе. Деление на зоны помогает оценить, какие части фронта усиливают друг друга, а какие компенсируются.

Дифракционный минимум и максимум — соответственно направление ослабления и усиления света, возникающих при интерференции вторичных волн. В минимуме амплитуды почти компенсируются, а в максимуме складываются преимущественно согласованно. Для щели положение минимумов удобно находить по формуле a·sin θ = mλ.

Как это устроено

Геометрическая оптика считает, что свет распространяется прямолинейными лучами и не может заметно попасть в область геометрической тени. Поэтому она не объясняет огибание края препятствия и расширение пучка за узкой щелью. Волновая теория рассматривает свет как волну, а дифракцию — как результат интерференции волн, пришедших от разных частей фронта.

По принципу Гюйгенса — Френеля отверстие можно мысленно разделить на множество малых участков. Каждый участок становится источником вторичной сферической волны, которая распространяется за отверстием. В каждой точке экрана складываются колебания от всех таких источников, поэтому освещённость определяется их амплитудами и фазами.

Для наглядности фронт делят на зоны Френеля. Разность хода от соседних зон до выбранной точки экрана равна примерно λ/2, поэтому их колебания приходят почти в противофазе и взаимно ослабляются. Если часть зон перекрыть или, наоборот, открыть, баланс компенсации изменится, и освещённость в точке может стать больше или меньше.

Разность хода вторичных волн зависит от направления наблюдения. В одних направлениях волны приходят почти синфазно и образуют максимум, а в других их фазы распределяются так, что результирующая амплитуда мала и возникает минимум. Поэтому дифракционная картина состоит из чередующихся светлых и тёмных областей.

Дифракция особенно заметна, если ширина отверстия a или размер препятствия близки к λ: тогда волна существенно расходится в стороны. При большом отверстии разные участки фронта дают узкую область сильного света, и картина почти совпадает с геометрической. Для щели центральный максимум ограничен первыми минимумами, а его угловая ширина примерно равна 2λ/a, поэтому при уменьшении a он расширяется.

Основные характеристики дифракции на узком отверстии

Таблица помогает отличить центральную светлую область от слабых боковых максимумов и тёмных минимумов. При сравнении щелей сначала смотрят на их ширину: меньшая щель даёт более широкую картину. Для точного положения тёмных полос используют условие минимума.

Разбор задач

Расширение пучка у отверстия

Нужно объяснить, почему пучок заметно расширяется после прохождения через отверстие, ширина которого сравнима с длиной волны. Рассматривать следует не отражение от краёв, а поведение волны внутри отверстия. Причина связана с интерференцией вторичных волн.

1. По принципу Гюйгенса — Френеля каждая точка отверстия становится источником вторичной волны.
2. Если ширина отверстия близка к λ, число эффективно различающихся участков фронта невелико, и волны заметно распространяются под боковыми углами.
3. Вторичные волны складываются за отверстием; в разных направлениях они усиливают или ослабляют друг друга.

Ответ: пучок расширяется потому, что узкое отверстие создаёт заметную дифракцию. Чем ближе его размер к длине волны, тем сильнее отклонение от прямолинейного распространения.

Первые минимумы на щели

Для монохроматического света с длиной волны λ щель имеет ширину a. Требуется определить направления первых дифракционных минимумов. Картина симметрична относительно направления, перпендикулярного щели.

1. Для минимумов щели записываем условие a·sin θ = mλ.
2. Для первых минимумов берём m = 1 и m = −1, поэтому sin θ₁ = λ/a и sin θ₋₁ = −λ/a.
3. Следовательно, направления расположены симметрично: θ₁ = arcsin(λ/a) и θ₋₁ = −arcsin(λ/a).

Ответ: первые минимумы находятся по обе стороны от центрального направления при sin θ = ±λ/a. При λ ≪ a можно использовать приближение θ ≈ ±λ/a в радианах.

Сравнение щелей разной ширины

Сравним две щели, ширины которых равны a₁ и a₂, причём a₁ < a₂. Нужно определить, через какую щель центральный максимум будет шире. Используем зависимость положения первых минимумов от ширины отверстия.

1. Для первого минимума sin θ₁ = λ/a, поэтому при уменьшении a угол до минимума увеличивается.
2. Центральный максимум расположен между левым и правым первыми минимумами, значит его угловая ширина примерно равна 2λ/a.
3. Так как a₁ меньше a₂, для первой щели значение 2λ/a₁ больше, чем 2λ/a₂.

Ответ: центральный максимум шире у щели меньшей ширины a₁. На экране при одинаковом расстоянии L его линейная ширина примерно равна 2Lλ/a.

Типичные ошибки

Считать дифракцию следствием только отражения или преломления. Такую ошибку допускают, когда любое изменение направления света связывают с границей сред. Проверка проста: в дифракции главное — интерференция вторичных волн у края или отверстия.

Путать условие минимума с условием максимума. Для щели минимум задаётся равенством a·sin θ = mλ, а не произвольным условием усиления. Проверяйте себя по смыслу: в минимуме вклады разных частей щели должны компенсироваться.

Забывать о сравнении размера отверстия с длиной волны. Дифракция существует всегда, но при большом отверстии углы отклонения малы и явление почти незаметно. Перед решением оцените отношение λ/a: чем оно больше, тем шире картина.

Считать боковые максимумы такими же яркими и широкими, как центральный. Центральный максимум содержит наибольшую интенсивность и ограничен первыми минимумами, а боковые максимумы слабее. Проверить результат можно по графику I/I₀ = (sin β/β)².

Связь с другими темами

До изучения дифракции нужны понятия длины волны, разности хода, интерференции и принципа Гюйгенса. Без них трудно понять, почему одни вторичные волны усиливаются, а другие компенсируются.

Дифракция нужна для понимания дифракционной решётки, спектральных приборов и предельного разрешения оптических систем. Она показывает, почему даже идеальная оптическая система не может различать сколь угодно близкие детали.

Дифракционные явления применяют при анализе изображений, исследовании лазерных пучков и изучении распространения радиоволн. Общий принцип остаётся тем же: волна огибает препятствия, а результат определяется интерференцией.

Что запомнить

• Дифракция — волновое огибание препятствий и расширение пучка за отверстием.
• Дифракция обусловлена интерференцией вторичных волн.
• Источниками вторичных волн считаются точки волнового фронта.
• Дифракция заметна, если размер отверстия сравним с длиной волны.
• Уменьшение ширины отверстия расширяет центральный максимум.
• Дифракционная картина состоит из центрального и боковых максимумов, разделённых минимумами.
• Зоны Френеля позволяют наглядно оценить взаимную компенсацию вкладов различных участков волнового фронта.