§ 2.8. Дифракция света

Определения и обозначения

Дифракция — огибание световыми волнами препятствий и проникновение в область геометрической тени. Особенно заметной она становится, когда размер препятствия сравним с длиной волны λ. Это помогает понять, почему свет может попадать туда, куда по законам геометрической оптики попасть не должен.

Принцип Гюйгенса утверждает, что каждая точка волнового фронта служит источником вторичных волн. Новый фронт получается как поверхность, касательная к этим волнам. Принцип нужен, чтобы представить распространение света не как движение лучей, а как последовательное распространение волнового фронта.

Дифракционная картина — чередование максимумов и минимумов освещённости. Она появляется потому, что вторичные волны складываются и интерферируют, то есть усиливают или ослабляют друг друга. По такой картине можно судить о длине волны и размерах щели.

Дифракция на щели — дифракция волны при прохождении через узкое отверстие шириной a, сравнимой с λ. Волны от разных частей щели идут к экрану под разными углами. Поэтому вместо равномерного светлого пятна возникает система полос.

Как это устроено

В геометрической оптике предполагают, что свет идёт по прямым линиям, поэтому за непрозрачным телом должна возникать резкая тень. Но волна имеет протяжённый фронт, и каждая его точка может порождать вторичные волны. Если отверстие велико по сравнению с λ, боковое отклонение мало и граница тени кажется чёткой.

Когда размер отверстия или препятствия становится сравнимым с длиной волны, вторичные волны заметно распространяются в стороны. Поэтому свет проникает в область, которая должна была бы быть геометрической тенью. Огибание не означает, что отдельный луч самопроизвольно меняет направление: наблюдаемый результат создаётся сложением большого числа волн.

Разные участки волнового фронта проходят до одной точки экрана неодинаковые расстояния. Из-за этого между волнами появляется разность хода, а значит, и разность фаз. В одних направлениях волны приходят почти синфазно и усиливают друг друга, а в других компенсируются; так формируются светлые и тёмные полосы.

Для щели шириной a условие минимума имеет вид a·sinφ = mλ, где φ — угол отклонения, λ — длина волны, а m = 1, 2, 3, … — порядок минимума. У крайних и промежуточных участков щели можно подобрать взаимно компенсирующиеся пары волн: их разность хода приводит к погашению. При m = 1 получается первый минимум, ограничивающий центральный максимум.

Центральный максимум расположен между первыми минимумами с обеих сторон и потому шире боковых. При уменьшении a для достижения условия минимума нужен больший угол φ. Увеличение λ действует так же, поэтому узкая щель и длинноволновый свет дают более широкую дифракционную картину.

На экране, удалённом на расстояние L, при малых углах можно пользоваться связью x ≈ Lφ. Здесь x — расстояние от центральной оси до ближайшего минимума, а ширина центрального максимума равна примерно 2x. Приближение допустимо, если угол выражен в радианах и достаточно мал.

Основные закономерности дифракции на щели

В таблице φ отсчитывается от направления прямо за щелью, а m обозначает порядок минимума. Для оценки размеров картины сначала находят угол первого минимума, затем переводят его в расстояние на экране с помощью x ≈ L·tgφ или x ≈ Lφ при малом угле. Центральный максимум занимает область между двумя первыми минимумами.

Разбор задач

Задача 1

Свет с длиной волны 600 нм проходит через щель шириной 0,30 мм. Найдём угол первого минимума. Для первого минимума берём m = 1, поэтому a·sinφ = λ.

1. Переведём единицы: λ = 600·10⁻⁹ м, a = 0,30·10⁻³ м.
2. Получим sinφ = λ/a = 600·10⁻⁹/(0,30·10⁻³) = 2,0·10⁻³.
3. Угол мал, поэтому φ ≈ 0,002 рад ≈ 0,115°.

Ответ: угол первого минимума примерно 0,002 рад, или 0,115°.

Задача 2

Центральный максимум на экране шириной 8,0 мм, экран находится на расстоянии L = 2,0 м, λ = 500 нм. Половина ширины равна расстоянию до первого минимума: x = 4,0 мм.

1. Для малого угла φ ≈ x/L = 4,0·10⁻³/2,0 = 2,0·10⁻³.
2. Из условия первого минимума a = λ/sinφ ≈ λ/φ.
3. a = 500·10⁻⁹/(2,0·10⁻³) = 2,5·10⁻⁴ м = 0,25 мм.

Ответ: ширина щели равна примерно 0,25 мм.

Задача 3

Первый минимум наблюдается под углом 0,20°, ширина щели a = 0,15 мм. Сначала найдём длину волны, а затем выразим ширину максимума через расстояние L до экрана, поскольку оно в условии не задано.

1. Переведём угол: 0,20° ≈ 0,00349 рад.
2. По формуле первого минимума λ = a·sinφ ≈ 1,5·10⁻⁴·0,00349 = 5,2·10⁻⁷ м.
3. Это примерно 520 нм. Ширина центрального максимума Δx ≈ 2Lφ ≈ 0,00698L, где L выражено в метрах.

Ответ: λ ≈ 520 нм; при L = 1 м ширина максимума составила бы около 7,0 мм. Для другого расстояния её нужно умножить на L в метрах.

Типичные ошибки

Считать, что дифракция заметна при любых размерах щели. Так делают, забывая о сравнении размера с длиной волны: при a намного больше λ эффект мал. Проверьте отношение a/λ и оцените, может ли первый минимум иметь заметный угол.

Путать дифракцию с простым распространением света в геометрической тени. Дифракционная картина появляется не только из-за попадания света за край, но и из-за интерференции вторичных волн. Если в объяснении нет разности хода и сложения волн, оно неполное.

Применять a·sinφ = mλ к центральному максимуму как к его границе или центру. Формула задаёт положения минимумов, а центральный максимум находится между минимумами первого порядка. Проверьте, указано ли m = 1 и учитываются ли оба симметричных края.

Заменять sinφ на φ при любом угле и оставлять градусы. Приближение sinφ ≈ φ требует малого угла, записанного в радианах. Сначала переведите градусы в радианы, а затем оцените, достаточно ли мал результат.

Связь с другими темами

Для изучения дифракции нужны понятия длины волны, суперпозиции, разности хода и условий интерференции. Тема продолжает волновую оптику и показывает, как интерференция возникает при прохождении света через одно отверстие.

Дифракция нужна для понимания дифракционной решётки, спектрального анализа и разрешающей способности оптических приборов. В задачах пригодятся приближения для малых углов и связь углового отклонения с линейным расстоянием на экране.

Что запомнить

• Дифракция — огибание волнами препятствий и отклонение от прямолинейного распространения.
• Дифракция заметна, когда размер отверстия или препятствия сравним с длиной волны.
• Дифракционная картина возникает из-за интерференции волн от разных участков волнового фронта.
• Минимумы при дифракции на щели подчиняются условию a·sinφ = mλ.
• Центральный максимум находится между первыми минимумами и шире боковых максимумов.
• Чем уже щель и чем больше длина волны, тем шире дифракционная картина.
• Дифракция подтверждает волновую природу света.