§ 15. Дифракция света

Определения и обозначения

Дифракция света — отклонение света от прямолинейного распространения у препятствий и отверстий, в том числе проникновение света в область геометрической тени. Она заметна, когда размер отверстия или препятствия сравним с длиной волны. Это понятие помогает понять, почему граница тени не всегда бывает строго резкой.

Принцип Гюйгенса — Френеля утверждает, что каждую точку волнового фронта можно рассматривать как источник вторичных волн. Волновой фронт — поверхность, все точки которой колеблются в одинаковой фазе. Вторичные волны складываются, и их совместное действие определяет, куда и с какой интенсивностью распространяется свет.

Дифракционная решётка — система большого числа одинаковых параллельных щелей, расположенных на равных расстояниях друг от друга. Проходя через щели, свет образует множество вторичных волн, которые интерферируют. Поэтому решётка позволяет получать чёткие максимумы и исследовать свет по их положению.

Период дифракционной решётки — расстояние между серединами двух соседних щелей; его обозначают буквой d. Это не ширина щели и не промежуток между её краями. Период нужен, чтобы рассчитать углы, под которыми возникают максимумы.

Как это устроено

Геометрическая оптика описывает свет как лучи, идущие по прямым линиям, поэтому в ней нет механизма, который позволил бы свету проникнуть за край препятствия. Волновая картина становится заметной, когда размеры отверстия или препятствия сравнимы с длиной волны: тогда распространение волн по разным направлениям нельзя считать одинаковым. Если же отверстие намного шире длины волны, отклонение мало и основная часть света идёт почти прямо. Поэтому обычные крупные предметы отбрасывают почти резкую тень.

По принципу Гюйгенса — Френеля вторичные волны возникают от разных участков фронта и распространяются в разные стороны. В одних точках наблюдения их колебания приходят согласованно и усиливают друг друга, а в других оказываются в противофазе и ослабляются. Так возникают максимумы и минимумы освещённости, то есть чередование светлых и тёмных областей. Это объясняет дифракционную картину не простым «рассеиванием», а сложением волн.

Когда свет проходит через узкую щель, её участки становятся источниками вторичных волн. На экране волны от этих участков накладываются, поэтому освещённость распределяется не равномерно: в центре возникает широкий яркий максимум, а по сторонам — более слабые боковые максимумы, разделённые минимумами. Центральная полоса шире боковых, поскольку первые минимумы, ограничивающие её, удалены от центра сильнее, чем соседние боковые максимумы. Чем уже щель, тем заметнее волновое отклонение.

В решётке свет проходит через множество одинаковых щелей, и волны от них складываются. Особенно яркие максимумы появляются в направлениях, где разность хода волн от соседних щелей равна целому числу длин волн: d sin φ = kλ. Здесь d — период решётки, φ — угол отклонения от первоначального направления, λ — длина волны, а k — целое число, называемое порядком максимума. Между такими направлениями волны частично гасят друг друга, поэтому освещённость там значительно меньше.

Если известны период решётки и длина волны, условие d sin φ = kλ позволяет найти угол максимума. Если, наоборот, измерен угол, длину волны можно вычислить по формуле λ = d sin φ/k для ненулевого k; так же можно найти неизвестный период. Перед расчётом нужно выразить d и λ в одинаковых единицах. Не каждый порядок возможен: требуется, чтобы |kλ/d| ≤ 1, иначе синус нужного угла был бы больше единицы.

Дифракция на щели и дифракционной решётке

Сопоставьте в таблице причину возникновения картины и её особенности. Строки помогают различить отдельную щель и решётку: на решётке волны от многих щелей формируют узкие яркие главные максимумы. В последней строке собраны обозначения и условие, по которому находят их положение.

Разбор задач

Задача 1. Объяснить, почему дифракция света заметна при прохождении через узкую щель, но почти не наблюдается у широкого отверстия. Здесь не требуется вычислять конкретный угол: нужно сравнить размер отверстия с длиной волны. Именно это сравнение показывает, насколько сильно волна отклоняется от прямого направления.

1. Обозначим ширину отверстия через a, а длину волны света — через λ. Заметная дифракция возникает, когда a сравнимо с λ или не намного больше него. Поэтому узкая щель может заметно изменить распространение волны.
2. Если отверстие широкое и его размер намного больше длины волны, отклонение света мало. Большая часть волны проходит почти прямо, поэтому границы освещённой области близки к предсказаниям геометрической оптики. Дифракционный эффект в таком случае трудно заметить.
3. Проверяем вывод сравнением размеров: чем ближе отношение a/λ к единице, тем заметнее дифракция. Если a/λ очень велико, заметного огибания обычно нет. Следовательно, решает не то, что отверстие узкое или широкое само по себе, а его размер относительно λ.

Ответ: в узкой щели дифракция заметна, когда её размер сравним с длиной волны; у широкого отверстия, намного превышающего длину волны, отклонение мало.

Задача 2. Свет с длиной волны 600 нм падает перпендикулярно на решётку с периодом 2,0 мкм. Найти угол, под которым наблюдается максимум первого порядка. Падение перпендикулярно означает, что в уравнение решётки входит угол отклонения φ относительно направления первоначального распространения. Для первого порядка k = 1.

1. Записываем условие главного максимума: d sin φ = kλ. Выражаем синус угла: sin φ = kλ/d. Такой вид удобен, потому что известны длина волны, период и порядок.
2. Переводим величины в одинаковые единицы: 2,0 мкм = 2000 нм. Подставляем данные: sin φ = 1 · 600/2000 = 0,30. Отношение безразмерно, как и должно быть для синуса.
3. Находим угол: φ = arcsin 0,30 ≈ 17,5°. Значение синуса меньше единицы, поэтому такой максимум физически возможен. Угол отсчитывается от направления падающего света.

Ответ: максимум первого порядка наблюдается примерно под углом 17,5°.

Задача 3. Для решётки с периодом 1,5 мкм максимум второго порядка наблюдается под углом 30°. Определить длину волны света и выяснить, возможен ли максимум третьего порядка. Сначала используем измеренный максимум второго порядка, а затем проверим третий по допустимому значению синуса. Все длины удобно оставить в микрометрах.

1. Для второго порядка k = 2 и sin 30° = 0,5. Из уравнения d sin φ = kλ выражаем длину волны: λ = d sin φ/k. Подставляем значения: λ = 1,5 · 0,5/2 = 0,375 мкм.
2. Переводим результат в нанометры: 0,375 мкм = 375 нм. Это длина волны видимого света. Полученное значение далее используем для проверки третьего порядка.
3. Для k = 3 должно выполняться sin φ = kλ/d. Получаем sin φ = 3 · 0,375/1,5 = 0,75. Поскольку 0,75 ≤ 1, угол существует, следовательно, максимум третьего порядка возможен.

Ответ: длина волны равна 0,375 мкм, или 375 нм; максимум третьего порядка возможен.

Типичные ошибки

Считать, что дифракция заметна при отверстии любого размера, — значит забывать о сравнении размера с длиной волны. Эту ошибку допускают, воспринимая «узкое отверстие» как абсолютное понятие. Проверяйте отношение размера к λ: выраженный эффект ожидается, когда величины сравнимы, а не когда отверстие просто кажется узким.

Путать дифракцию с простым рассеянием — значит не объяснять происхождение светлых и тёмных полос. Ошибка возникает из-за того, что в обоих случаях свет меняет направление. Для проверки спросите себя, учитывается ли сложение вторичных волн: чередование максимумов и минимумов связано именно с интерференцией волн, возникающих у отверстия или препятствия.

Подставлять в формулу решётки расстояние между краями щелей вместо периода — значит использовать не ту геометрическую величину. Путаница появляется потому, что щели имеют ширину и разделены промежутками. Период d всегда измеряют между серединами соседних щелей; проверьте, что именно такое расстояние указано или вычислено в задаче.

Забывать, что k — целое число, или допускать kλ/d > 1 — значит получать несуществующий максимум. Обычно это происходит при подстановке в формулу без проверки результата. После вычислений убедитесь, что порядок целый, а модуль синуса kλ/d не превышает единицу; иначе угол φ не может существовать.

Связь с другими темами

Для понимания дифракции нужны представления о волновых свойствах света и длине волны. Знание интерференции помогает объяснить, почему вторичные волны в одних направлениях усиливаются, а в других ослабляются. Дифракционная решётка использует именно это сложение волн: по её максимумам свет можно разложить в спектр и определить длину волны. Поэтому тема связывает волновую оптику с методами измерения характеристик света.

Что запомнить

• Дифракция — отклонение света от прямолинейного распространения у препятствий и отверстий.
• Дифракция особенно заметна, если размеры препятствия или отверстия сравнимы с длиной волны.
• Дифракционная картина возникает при сложении вторичных волн.
• Период решётки — расстояние между серединами соседних щелей.
• Максимумы решётки удовлетворяют условию d sin φ = kλ.
• Для главного максимума k = 0; боковые максимумы имеют ненулевой целый порядок.