§ 46. Дифракция света

Определения и обозначения

Дифракция света — отклонение света от прямолинейного распространения при прохождении через отверстия и около препятствий. Это волновое явление, которое становится заметным, когда размер отверстия или препятствия сравним с длиной волны. Понятие помогает объяснить, почему свет может проникать в область геометрической тени.

Принцип Гюйгенса—Френеля описывает распространение волн так: каждая точка волнового фронта становится источником вторичных волн, а их сложение определяет следующий фронт. Волновой фронт — поверхность, точки которой колеблются в одинаковой фазе. Этот принцип позволяет понять возникновение дифракции и объяснить, откуда берутся светлые и тёмные участки.

Дифракционная решётка — система большого числа одинаковых параллельных щелей, разделённых непрозрачными промежутками. Свет от щелей складывается, создавая характерную картину максимумов. Решётка нужна, в частности, чтобы различать длины волн и исследовать спектр света.

Период решётки — расстояние между серединами соседних щелей; его обозначают d. Если ширина щели равна a, а ширина непрозрачного промежутка — b, то d = a + b. Период задаёт расстояние между источниками волн и входит в условие появления максимумов.

Как это устроено

В обычных условиях свет кажется прямолинейным, потому что длина его волны очень мала по сравнению с большинством отверстий и препятствий. При таком соотношении волны отклоняются в стороны на небольшие углы, и эффект трудно заметить. Если же размер отверстия сравним с длиной волны, распространение вторичных волн в стороны становится существенным, и свет заметно попадает за края преграды.

Вторичные волны от разных точек фронта приходят в выбранное место с разными фазами, то есть их колебания могут быть как согласованы, так и противоположны. Когда колебания усиливают друг друга, наблюдается максимум интенсивности; когда взаимно ослабляются — минимум. Поэтому дифракция не просто «огибание» препятствия: наблюдаемая картина возникает из-за интерференции множества волн.

На одной щели шириной a в каждой точке проходят волны, которые затем складываются на экране. В некоторых направлениях вклады от разных частей щели взаимно компенсируются, и появляются тёмные полосы; минимумы задаются условием a sin φ = kλ, где φ — угол отклонения, а k — ненулевое целое число. Между минимумами располагаются светлые области: центральный максимум самый широкий, а боковые обычно слабее. Изменение λ или a меняет углы, под которыми видны эти участки.

В решётке волны от соседних щелей приходят в наблюдаемом направлении с разностью хода d sin φ. Если она равна целому числу длин волн, волны усиливают друг друга, и возникает яркий главный максимум: d sin φ = kλ. Здесь d — период решётки, k — порядок максимума, причём k может быть нулём, положительным или отрицательным целым числом. Между главными максимумами волны от множества щелей в основном компенсируются, поэтому сами максимумы узкие.

Зная период решётки и измерив угол максимума, можно найти длину волны: λ = d sin φ / k при k ≠ 0. Если известна длина волны, той же формулой находят период решётки. При увеличении |k| угол обычно возрастает, потому что sin φ = kλ/d становится больше; однако максимум возможен только при |kλ| ≤ d. Нулевой максимум имеет k = 0 и направлен вдоль падающего света.

Условия и особенности дифракции

Сначала определите, рассматривается одна щель или решётка: в формулах используются разные расстояния — ширина щели a и период d. Для решётки подставляйте целый порядок k, а угол отсчитывайте от направления нормали к решётке. После вычислений проверьте, что полученное значение синуса не превышает единицу.

Разбор задач

Узкая щель и широкое отверстие

Условие. Почему дифракция заметна при прохождении света через очень узкую щель, но почти незаметна у широкого отверстия? Нужно сравнить размеры отверстия с длиной волны и связать это сравнение с распространением волн.

1. Обозначим ширину отверстия через a, а длину волны света через λ. Именно отношение этих величин определяет, насколько сильно волна отклоняется от прямолинейного направления.
2. Если a сравнима с λ, вторичные волны от краёв щели заметно распространяются в стороны. Они попадают в область за краями отверстия, а их интерференция формирует светлые и тёмные полосы.
3. Если a намного больше λ, отклонение волн мало по сравнению с шириной пучка. Картина почти совпадает с геометрической тенью, поэтому дифракция практически незаметна.

Ответ. Узкая щель даёт заметную дифракцию, когда её ширина сравнима с длиной волны; у широкого отверстия ширина намного больше λ, поэтому эффект слаб.

Угол максимума первого порядка

Условие. На решётку с периодом 2,0 мкм нормально падает свет длиной волны 500 нм. Найти угол максимума первого порядка. Прежде чем вычислять, приведём величины к одинаковым единицам, чтобы их отношение было безразмерным.

1. Для главного максимума используем условие d sin φ = kλ. Для первого порядка k = 1, а период решётки d = 2,0 мкм = 2000 нм.
2. Выразим синус угла: sin φ = kλ/d = 1 · 500/2000 = 0,25. Значение допустимо, поскольку оно меньше единицы.
3. Найдём угол: φ = arcsin(0,25) ≈ 14,5°. Выбираем острый угол, соответствующий первому максимуму по одну сторону от центрального.

Ответ. Угол максимума первого порядка составляет примерно 14,5°.

Длина волны и возможность максимума третьего порядка

Условие. Для решётки с периодом 1,5 мкм максимум второго порядка наблюдается под углом 30°. Определить длину волны и проверить, возможен ли максимум третьего порядка. Проверка нужна потому, что синус угла не может быть больше единицы.

1. Запишем d sin φ = kλ и выразим λ: λ = d sin φ/k. Подставим d = 1,5 мкм, φ = 30° и k = 2.
2. Так как sin 30° = 0,5, получаем λ = 1,5 · 0,5/2 мкм = 0,375 мкм = 375 нм. Перевод единиц показывает, что длина волны записана в привычных для видимого света нанометрах.
3. Для третьего порядка нужно, чтобы sin φ₃ = 3λ/d = 3 · 0,375/1,5 = 0,75. Это меньше единицы, значит такой максимум возможен; соответствующий угол равен примерно 48,6°.

Ответ. Длина волны равна 375 нм. Максимум третьего порядка возможен, поскольку 3λ ≤ d.

Типичные ошибки

Считать дифракцией любое расхождение лучей — ошибка: световой пучок может расходиться и по другим причинам. Дифракция проявляет волновую природу света, а особенно заметна при размерах отверстия или препятствия, сравнимых с длиной волны. Проверьте себя: в объяснении должны участвовать волны и их интерференция, а не только геометрические лучи.

Нельзя путать ширину одной щели a с периодом решётки d. В задаче о щели условие минимумов содержит a, а для максимумов решётки используется расстояние между серединами соседних щелей d. Чтобы проверить подстановку, выясните, какой объект задан, и запишите нужную формулу до численного расчёта.

В условии максимума решётки k — целое число, включая ноль, а не произвольное действительное значение. Кроме того, модуль sin φ не может быть больше единицы, поэтому должно выполняться |kλ| ≤ d. Если расчёт требует sin φ > 1, проверьте порядок, единицы измерения и саму возможность такого максимума.

Подстановка величин в разных единицах приводит к неверному углу или длине волны. Например, период в микрометрах нельзя делить на длину волны в нанометрах, не переведя одну из величин. Также не подменяйте угол его синусом: вычислив sin φ, найдите φ обратной тригонометрической функцией, а затем оцените, правдоподобен ли результат.

Связь с другими темами

Для изучения дифракции нужны представления о волновой природе света и длине волны. Связь с интерференцией особенно важна: именно сложение волн объясняет чередование максимумов и минимумов. Дифракцию удобно рассматривать как интерференцию волн, пришедших от разных участков щели или от разных щелей решётки.

Дифракционная решётка разлагает свет в спектр, поскольку разные длины волн дают максимумы под разными углами. Это позволяет применять её в оптических приборах и спектроскопии, где по спектру изучают свойства источников света и веществ. Для решения задач также нужны тригонометрические соотношения, работа с синусом угла и аккуратный перевод единиц длины.

Что запомнить

• Дифракция — проявление волновых свойств света.
• Она заметна, когда размеры отверстия или препятствия сравнимы с длиной волны.
• Дифракционная картина возникает из-за интерференции вторичных волн.
• Период решётки — расстояние между соседними щелями.
• Максимумы решётки удовлетворяют условию d sin φ = kλ.
• Порядок максимума k — целое число; максимум нулевого порядка направлен вдоль падающего света.