"Физика (базовый уровень)", Касьянов В.А.
Прямолинейное движение с постоянным ускорением описывает, как меняется скорость тела, движущегося по прямой. Эта модель помогает находить скорость и положение тела в любой момент времени, а также решать задачи о разгоне и торможении. Главное — выбрать направление оси и учитывать знаки скорости и ускорения: ускорение может быть постоянным и тогда, когда тело замедляется. Для расчётов используют формулы движения и график скорости.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямолинейное движение — это движение тела по прямой. Для описания выбирают координатную ось и положительное направление на ней: положение тела задаётся координатой x, а её знак показывает, по какую сторону от начала отсчёта находится тело. Скорость тоже имеет знак: он указывает направление движения относительно оси. Поэтому знаки координаты и скорости зависят от выбора направления, а не от того, «хорошо» или «плохо» движется тело.
Ускорение — векторная величина, характеризующая изменение скорости за единицу времени. Для движения с постоянным ускорением его проекция на выбранную ось вычисляется по формуле a = (v − v₀)/t, где v₀ — начальная, а v — конечная скорость за время t. Единица ускорения в СИ — метр в секунду за секунду, или м/с². Ускорение нужно, чтобы численно описать, насколько быстро меняется скорость и в каком направлении происходит это изменение.
Равноускоренное движение — прямолинейное движение, при котором ускорение постоянно. Это значит, что за равные промежутки времени скорость изменяется на равные величины, но не обязательно увеличивается: при ускорении против направления скорости тело замедляется. Такой термин описывает постоянство ускорения, а не обязательный разгон. Он позволяет применять общие формулы, связывающие скорость, время и положение тела.
Перемещение — вектор, направленный от начального положения тела к конечному. При движении по выбранной оси его проекция может быть положительной или отрицательной, а её величина связана с изменением координаты. Пройденный путь, в отличие от перемещения, показывает длину траектории и не бывает отрицательным. Эти понятия совпадают по величине только в простом случае, когда тело не меняет направление движения.
По определению постоянного ускорения за время t скорость изменяется на величину at: это следует из равенства a = (v − v₀)/t после умножения обеих частей на t. Поэтому конечная скорость выражается формулой v = v₀ + at. Знак a показывает направление изменения скорости относительно оси: при v₀ и a одного знака скорость по модулю обычно растёт, а при противоположных знаках — сначала уменьшается. Формула относится к проекциям величин на одну и ту же ось.
Чтобы найти перемещение, можно представить движение как результат двух вкладов. Начальная скорость v₀ сама по себе дала бы за время t перемещение v₀t, а постоянное ускорение постепенно добавляет к скорости величину at. Это добавочное изменение растёт от нуля до at равномерно, поэтому его среднее значение за время t равно at/2. Дополнительное перемещение равно этому среднему изменению скорости, умноженному на время, то есть at²/2; вместе получается s = v₀t + at²/2.
Координата показывает положение тела относительно начала отсчёта, а перемещение — изменение этого положения. Если в начале движения координата была x₀, то к ней нужно прибавить проекцию перемещения: x = x₀ + s. Подстановка формулы перемещения даёт закон движения x = x₀ + v₀t + at²/2. Он позволяет определить координату в любой момент отсчёта, если известны начальные условия и ускорение.
При постоянном ускорении скорость изменяется равномерно от v₀ до v. Поэтому её среднее значение за промежуток времени равно полусумме начальной и конечной скоростей: vср = (v₀ + v)/2. Перемещение равно средней скорости, умноженной на время, откуда получается s = (v₀ + v)t/2. Этой формулой удобно пользоваться, когда известны обе скорости и время, но не требуется отдельно находить ускорение.
На графике скорости от времени равноускоренному движению соответствует прямая, потому что v = v₀ + at — линейная зависимость. Наклон прямой показывает, насколько меняется скорость за единицу времени, то есть равен ускорению. Перемещение за промежуток времени соответствует площади между графиком и осью времени: участки над осью дают положительный вклад, под осью — отрицательный. Поэтому при смене направления нужно учитывать знак площади, а не складывать её части как обычные положительные величины.
| Что описывает | Формула | Единицы СИ | Условия применения |
|---|---|---|---|
| Скорость в момент времени t | v = v₀ + at | v, v₀ — м/с; a — м/с²; t — с | Прямолинейное движение, постоянное ускорение |
| Перемещение за время t | s = v₀t + at²/2 | s — м; v₀ — м/с; t — с; a — м/с² | Ускорение постоянно в течение промежутка |
| Координата в момент времени t | x = x₀ + v₀t + at²/2 | x, x₀ — м; v₀ — м/с; t — с; a — м/с² | Известны начальная координата и начальные условия |
| Связь скорости, ускорения и времени без перемещения | a = (v − v₀)/t | a — м/с²; v, v₀ — м/с; t — с | Известны скорости в начале и конце интервала |
| Средняя скорость при постоянном ускорении | vср = (v₀ + v)/2 | vср, v₀, v — м/с | Ускорение постоянно в течение интервала |
Сначала найдите в таблице величину, которую требуется определить, и выпишите подходящую формулу. Затем проверьте, что условие постоянного ускорения выполнено и все данные переведены в единицы СИ. Для проекций на ось сохраняйте знаки скоростей и ускорения.
Задача 1. Автомобиль движется со скоростью 5 м/с и разгоняется с ускорением 2 м/с² в течение 4 с. Найдём конечную скорость. Здесь известны начальная скорость, ускорение и время, поэтому подходит формула скорости при постоянном ускорении.
Ответ: конечная скорость автомобиля равна 13 м/с. Проверка здравого смысла: положительное ускорение направлено по движению, поэтому скорость должна стать больше начальных 5 м/с. Полученное значение этому соответствует.
Задача 2. Тело начинает движение из состояния покоя и движется с ускорением 3 м/с² в течение 6 с. Найдём перемещение и конечную скорость. «Из состояния покоя» означает, что начальная скорость v₀ равна нулю; это важно явно подставить в обе формулы.
Ответ: перемещение равно 54 м, конечная скорость — 18 м/с. Проверим перемещение через среднюю скорость: при постоянном ускорении vср = (0 + 18)/2 = 9 м/с, а 9 · 6 = 54 м. Совпадение двух способов подтверждает расчёт.
Задача 3. Поезд движется со скоростью 20 м/с, равномерно тормозит и останавливается за 10 с. Найдём ускорение и тормозной путь. Выберем положительное направление по начальной скорости поезда; конечная скорость равна нулю, а ускорение при торможении должно получиться отрицательным.
Ответ: ускорение поезда равно −2 м/с², тормозной путь — 100 м. Путь здесь равен модулю перемещения, потому что поезд всё время двигался в одну сторону и не разворачивался. Отрицательный знак ускорения показывает, что оно направлено против выбранной оси.
Первая ошибка — считать ускорение положительным всегда. Знак ускорения зависит от выбранной оси: при торможении оно часто противоположно скорости, поэтому проекция отрицательна. Такую ошибку легко заметить, если сравнить направления скорости и ускорения и проверить, должна ли скорость расти или уменьшаться.
Вторая ошибка — подменять перемещение пройденным путём. Путь складывает длины участков траектории, а перемещение учитывает только начальное и конечное положения и может иметь знак. Если тело меняло направление, нужно отдельно проследить его движение: это поможет не принять путь за перемещение.
Третья ошибка — применять формулы равноускоренного движения, не проверив условия. Эти формулы предполагают прямолинейную траекторию и постоянное ускорение; если оно меняется, скорость уже не обязана зависеть от времени линейно. Перед вычислениями проверьте условие задачи и единицы измерения ускорения на всём рассматриваемом промежутке.
Четвёртая ошибка — смешивать единицы или путать начальную скорость v₀ с конечной v. Например, время в минутах нельзя без перевода подставлять вместе с ускорением в м/с². Запишите известные величины с единицами и отметьте, к началу или концу интервала относится каждая скорость; затем проверьте размерность ответа.
Для описания движения нужны координата, перемещение, скорость и умение переводить физические величины в единицы СИ. Эта тема опирается на равномерное прямолинейное движение: при нулевом ускорении скорость остаётся постоянной, а положение меняется равномерно. Знание векторов помогает понимать, почему у скорости и ускорения есть направление и почему их проекции могут иметь разные знаки. Формулы и графики движения с постоянным ускорением применяются при изучении свободного падения и законов Ньютона.
Может ли ускорение быть постоянным, если скорость тела уменьшается?
Да. Ускорение постоянно, если за равные промежутки времени скорость изменяется на одинаковую величину. При торможении оно направлено противоположно скорости, поэтому модуль скорости уменьшается.
Почему ускорение при торможении обычно записывают со знаком минус?
Обычно положительное направление оси выбирают по начальной скорости тела. При торможении скорость направлена вдоль оси, а ускорение — против неё, поэтому проекция ускорения отрицательна. Если выбрать ось в другую сторону, знаки изменятся.
Чем перемещение отличается от пройденного пути?
Перемещение — вектор от начального положения тела к конечному, а путь — длина всей траектории. Если тело меняет направление, путь может оказаться больше модуля перемещения. Например, при возвращении в исходную точку перемещение равно нулю, хотя путь пройден.
Как определить перемещение по графику скорости?
Перемещение за промежуток времени равно площади между графиком скорости и осью времени с учётом знака. Участки графика выше оси дают положительный вклад, а ниже — отрицательный. Если скорость не меняет знак, модуль перемещения равен пройденному пути.
Как выбрать формулу, если в задаче не дана часть величин?
Запишите известные величины, неизвестную величину и проверьте, что ускорение постоянно, а движение прямолинейное. Выберите формулу, в которой есть искомая и известные величины, но нет лишних неизвестных. Если одной формулы недостаточно, используйте две связанные формулы.
§ 10. Прямолинейное движении с постоянным ускорением
