"Физика (базовый уровень)", Касьянов В.А.
Работа газа показывает, сколько энергии газ передаёт окружающим телам, изменяя свой объём. Она возникает, когда давление перемещает подвижную границу сосуда, например поршень. Для расчёта важно знать, как меняется давление в процессе: при постоянном давлении работа равна p(V₂ − V₁), при постоянном объёме она равна нулю, а при постоянной температуре определяется площадью под кривой на pV-диаграмме. Знак работы зависит от того, расширяется газ или сжимается.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Работа газа — работа, которую газ совершает при изменении своего объёма; её обозначают A и измеряют в джоулях (Дж). Работа появляется, когда газ перемещает подвижную стенку, например поршень. По её значению можно определить, сколько энергии газ передал окружающим телам или получил от них в результате изменения объёма.
Изобарный процесс — процесс, протекающий при постоянном давлении: p = const. При нём работа зависит от изменения объёма и величины давления. Это условие помогает выбрать формулу A = p(V₂ − V₁), не вычисляя давление на каждом этапе.
Изохорный процесс — процесс, происходящий при постоянном объёме: V = const. Объём при этом не меняется, поэтому граница сосуда не перемещается. Такое обозначение сразу подсказывает, что работа газа равна нулю, даже если другие параметры меняются.
Изотермический процесс — процесс при постоянной температуре: T = const. Для данной массы идеального газа закон Бойля — Мариотта связывает давление и объём соотношением pV = const: при увеличении объёма давление уменьшается. Это позволяет описать процесс и найти его работу по изменению объёма.
Работа газа возникает, когда давление действует на подвижную границу сосуда. Давление — это сила, приходящаяся на единицу площади, поэтому на границу площадью S действует сила F = pS. Если граница смещается на небольшое расстояние, объём изменяется на δV = Sδx; произведение силы на перемещение даёт δA = pδV. Значит, без перемещения границы газ не совершает работу, хотя давление на неё может действовать.
На pV-диаграмме по горизонтали откладывают объём, а по вертикали — давление. Для малого изменения объёма работа pδV соответствует площади узкой полоски: её высота равна p, ширина — δV. Складывая площади полосок от V₁ до V₂, получаем площадь под графиком процесса, то есть работу газа. Поэтому при меняющемся давлении важна не одна его величина, а вся кривая между начальным и конечным состояниями.
В изобарном процессе давление постоянно, поэтому во всех полосках под графиком высота одна и та же. Их общая площадь равна площади прямоугольника: A = p(V₂ − V₁). При расширении V₂ больше V₁, поэтому работа положительна: газ толкает границу наружу. При сжатии V₂ меньше V₁, и работа газа отрицательна, поскольку граница движется внутрь под действием внешних сил.
При изохорном процессе объём не меняется, следовательно, перемещения границы нет. На pV-диаграмме процесс изображается вертикальным отрезком: его ширина по оси объёма равна нулю, значит, площадь под ним тоже нулевая. Поэтому A = 0, даже если при нагревании или охлаждении меняются давление и температура.
При изотермическом процессе температура постоянна, а для идеального газа произведение pV остаётся неизменным. Когда объём растёт, давление падает, поэтому график p(V) не является горизонтальным и давление нельзя вынести как постоянный множитель. Работа равна площади под этой кривой; для количества вещества ν при температуре T её вычисляют по формуле A = νRT ln(V₂/V₁). При расширении отношение V₂/V₁ больше единицы, логарифм положителен и работа газа положительна.
| Процесс | Постоянная величина | Связь параметров | Работа газа | Знак при расширении |
|---|---|---|---|---|
| Изобарный | p = const | V/T = const | A = p(V₂ − V₁) | Положительный |
| Изохорный | V = const | p/T = const | A = 0 | Расширения нет |
| Изотермический | T = const | pV = const | A = νRT ln(V₂/V₁) | Положительный |
Сначала определите, какая величина остаётся постоянной, и по ней распознайте процесс. Затем выберите соответствующую связь параметров и формулу работы. Перед расчётом проверьте знак изменения объёма и используемые единицы.
Задача 1. Газ при постоянном давлении 2,0 · 10⁵ Па расширился от 3 до 5 л. Найдём работу газа. Поскольку давление постоянно, используем формулу для изобарного процесса, но сначала переведём литры в кубические метры.
Ответ: A = 400 Дж. Перевод объёмов обязателен: произведение паскалей на кубические метры даёт джоули.
Задача 2. Газ нагрели в жёстком закрытом сосуде; известны начальные и конечные давление и температура. Найдём работу газа. Жёсткие стенки не позволяют сосуду расширяться, поэтому объём остаётся неизменным; заданные значения давления и температуры для расчёта работы не нужны.
Ответ: A = 0 Дж. Изменение состояния газа само по себе не означает, что он совершает механическую работу: для этого должен измениться объём.
Задача 3. Один моль идеального газа изотермически расширился при температуре 300 К, увеличив объём вдвое. Найдём работу газа. Давление при расширении меняется, поэтому вместо формулы для постоянного давления используем формулу изотермического процесса.
Ответ: A ≈ 1,7 · 10³ Дж. Начальный и конечный объёмы по отдельности знать не нужно: в формулу входит их отношение.
Подстановка литров вместо кубических метров приводит к ошибке в масштабе результата. Её допускают, потому что в условии объём часто дан в привычных литрах, а перевод единиц забывают. Перед расчётом проверьте, что 1 л заменён на 0,001 м³; тогда Па · м³ даст джоули.
Иногда работу газа при расширении считают отрицательной, смешивая её с работой внешних сил над газом. Знак следует из формулы: при расширении V₂ − V₁ положительно, значит, положительна и работа газа. Для проверки отдельно уточните, кто совершает работу — газ или внешние силы.
Для изобарного процесса могут подставлять изменение температуры вместо изменения объёма. Температура связана с состоянием газа, но работа определяется площадью под графиком p(V), а формула имеет вид A = p(V₂ − V₁). Проверьте, что в вычислении присутствует изменение объёма, а не только изменение температуры.
Изменение давления или температуры иногда принимают за доказательство, что газ совершил работу. В изохорном процессе объём постоянен, граница не движется, поэтому A = 0. Чтобы проверить себя, сравните начальный и конечный объёмы: если они равны, работа газа равна нулю.
Для изучения работы газа нужны знания о механической работе, давлении, объёме и уравнении состояния идеального газа. Механическая работа объясняет связь силы и перемещения, а давление помогает определить действие газа на стенку. Уравнение состояния связывает параметры газа и позволяет описывать изменение его состояния при нагревании, охлаждении или расширении.
Работа газа понадобится при изучении первого закона термодинамики: он связывает переданное газу тепло, изменение внутренней энергии и работу. Эти понятия также необходимы для понимания работы тепловых машин и цикла Карно. В таких устройствах расширение и сжатие газа происходят на разных этапах, и работа зависит от пути процесса.
Почему площадь под графиком на pV-диаграмме равна работе газа?
При небольшом перемещении границы работа равна давлению, умноженному на малое изменение объёма: δA = pδV. На диаграмме это площадь узкой полоски шириной δV и высотой p. Сумма таких полосок от начального до конечного объёма и есть работа.
Может ли работа газа быть отрицательной?
Да. Если газ сжимают, его объём уменьшается, поэтому работа самого газа отрицательна. При этом внешние силы совершают над газом положительную работу.
Почему при изохорном процессе работа равна нулю, хотя газ может нагреваться?
В жёстком сосуде объём не меняется и его стенка не перемещается. Давление может меняться при нагревании, но работа газа связана именно с изменением объёма, поэтому A = 0.
Почему формулу A = p(V₂ − V₁) нельзя применять к изотермическому процессу?
Эта формула подходит только тогда, когда давление постоянно. При изотермическом процессе идеального газа температура постоянна, но давление меняется обратно пропорционально объёму. Поэтому работу находят по площади под кривой p(V), используя логарифмическую формулу.
В каких единицах нужно подставлять давление и объём?
В формулах работы давление подставляют в паскалях, а объём — в кубических метрах. Тогда результат получается в джоулях, поскольку 1 Па · м³ = 1 Дж. Литры перед подстановкой переводят в кубические метры: 1 л = 0,001 м³.
§ 46. Работа газов при изопроцессах
