§ 63. Электроёмкость уединённого проводника

Определения и обозначения

Электроёмкость уединённого проводника — отношение его заряда q к потенциалу φ относительно бесконечно удалённых тел: C = q/φ. Здесь C обозначает электроёмкость, q — заряд, φ — потенциал поверхности проводника. Это определение позволяет сравнивать проводники по тому, какой заряд соответствует их потенциалу.

Потенциал уединённого проводника — потенциал его поверхности, отсчитанный относительно бесконечности. Для уединённого тела бесконечно удалённые точки выбирают за условный нулевой уровень потенциала. Такое уточнение нужно, потому что потенциал задаётся относительно выбранного уровня.

Фарад — единица электроёмкости в СИ: 1 Ф = 1 Кл/В. Проводник имеет электроёмкость 1 фарад, если при потенциале 1 вольт его заряд равен 1 кулону. Соотношение единиц помогает проверять правильность расчётов по формуле C = q/φ.

Электроёмкость сферы в вакууме равна C = 4πε₀R, где ε₀ — электрическая постоянная, а R — радиус сферы. Формула показывает, что ёмкость определяется радиусом: при большем радиусе сфера имеет большую электроёмкость. Она применима именно к сфере и вакууму.

Как это устроено

Если уединённому проводнику сообщить заряд, этот заряд распределится по его поверхности и создаст электрическое поле. Поле связано с потенциалом: чем больше заряд при прочих равных условиях, тем сильнее поле и тем выше потенциал поверхности относительно бесконечности. Поэтому нельзя рассматривать заряд и потенциал как независимые величины.

Для данного проводника в неизменной среде заряд прямо пропорционален потенциалу. Это означает, что при увеличении q, например, вдвое φ также увеличится вдвое; при уменьшении заряда вдвое во столько же раз уменьшится и потенциал. Отношение q/φ при этом остаётся постоянным. Эту постоянную и называют электроёмкостью проводника.

Постоянство отношения объясняется тем, что форма и размеры проводника не меняются, как и окружающая среда. Они задают, как распределяется заряд и какое поле ему соответствует. Поэтому электроёмкость характеризует сам проводник в данной среде, а не конкретную порцию заряда. Если изменить заряд, меняется потенциал, а не значение C.

Единица СИ следует непосредственно из определения: электроёмкость измеряют в кулонах на вольт, а такую единицу называют фарадом. Если заряд выражен в кулонах, а потенциал — в вольтах, их отношение даёт электроёмкость в фарадах. Например, заряд 2 Кл при потенциале 4 В соответствует электроёмкости 0,5 Ф.

Для сферы в вакууме C = 4πε₀R: все множители, кроме R, постоянны, поэтому ёмкость прямо пропорциональна радиусу. Большая сфера при том же потенциале может иметь больший заряд, а значит, её отношение q/φ больше. Если увеличить радиус в три раза, электроёмкость также увеличится втрое. Значение ε₀ учитывает свойства вакуума.

Электроёмкость уединённого проводника

Сначала выберите строку, соответствующую рассматриваемой величине или форме проводника. Затем используйте указанное соотношение и проверьте, что все значения подставлены в единицах СИ. Последний столбец напоминает, какие параметры влияют на электроёмкость.

Разбор задач

Задача 1. Уединённому проводнику сообщили заряд 6 мкКл, и его потенциал стал 300 В. Найти электроёмкость. Из определения C = q/φ нужно разделить заряд на потенциал. Перед вычислением переведём микрокулоны в кулоны.

1. Переведём заряд: q = 6 мкКл = 6·10⁻⁶ Кл.
2. Подставим значения: C = q/φ = (6·10⁻⁶ Кл)/(300 В).
3. Вычислим: C = 2·10⁻⁸ Ф = 20 нФ.

Ответ: электроёмкость проводника равна 2·10⁻⁸ Ф, или 20 нФ. Результат получен как отношение заряда к потенциалу, а единицы соответствуют кулонам на вольт.

Задача 2. Электроёмкость проводника равна 2 нФ. Какой заряд нужно сообщить ему, чтобы потенциал достиг 150 В? Здесь известны C и φ, поэтому удобнее выразить заряд из определения: q = Cφ. Нанофарады сначала переведём в фарады.

1. Переведём электроёмкость: C = 2 нФ = 2·10⁻⁹ Ф.
2. Используем связь заряда и потенциала: q = Cφ = (2·10⁻⁹ Ф)·150 В.
3. Вычислим: q = 3·10⁻⁷ Кл = 0,3 мкКл.

Ответ: проводнику нужно сообщить заряд 3·10⁻⁷ Кл, или 0,3 мкКл. При постоянной электроёмкости заданный потенциал однозначно задаёт необходимый заряд.

Задача 3. Радиус уединённой металлической сферы в вакууме равен 9 см. Найти её электроёмкость при ε₀ = 8,85·10⁻¹² Ф/м. Для сферы подходит формула C = 4πε₀R. Радиус переведём в метры, поскольку электрическая постоянная дана в единицах СИ.

1. Переведём радиус: R = 9 см = 0,09 м.
2. Подставим: C = 4π·8,85·10⁻¹²·0,09 Ф.
3. Вычислим: C ≈ 1,0·10⁻¹¹ Ф = 10 пФ.

Ответ: электроёмкость сферы приблизительно равна 1,0·10⁻¹¹ Ф, или 10 пФ. Порядок величины мал, поскольку радиус сферы измеряется десятыми долями метра, а ε₀ имеет малое значение.

Типичные ошибки

Считать, что электроёмкость растёт вместе с сообщённым зарядом, — значит спутать изменение состояния проводника с его характеристикой. Так ошибаются, потому что при большем заряде действительно выше потенциал. При неизменных проводнике и среде оба значения растут пропорционально, а q/φ не меняется. Проверьте себя: если заряд удвоился, потенциал должен удвоиться, а C остаться прежней.

Нельзя отождествлять электроёмкость с зарядом или потенциалом: это отдельная величина, измеряемая в фарадах. Такое смешение возникает из-за того, что все три величины связаны формулой C = q/φ. Чтобы проверить себя, запишите единицы: заряд измеряется в кулонах, потенциал — в вольтах, ёмкость — в фарадах.

Подстановка потенциала без учёта его уровня отсчёта приводит к неверному применению определения. Для уединённого проводника потенциал в формуле рассматривают относительно бесконечности, а не относительно произвольно выбранной точки. Ошибку предотвращает проверка условия: действительно ли проводник уединён и к какому уровню отнесён потенциал.

Подстановка радиуса сферы в сантиметрах в формулу СИ даёт ошибку в сто раз. Её допускают, когда не замечают, что ε₀ задана в фарадах на метр. Перед вычислением переведите сантиметры в метры и проверьте единицы результата: электроёмкость должна получиться в фарадах.

Связь с другими темами

Для понимания электроёмкости нужны понятия электрического заряда, электрического поля и потенциала проводника: без них нельзя связать q и φ. Электроёмкость уединённого проводника становится основой для изучения конденсаторов, в которых рассматривают ёмкость системы проводников. Связь q = Cφ также пригодится при расчёте энергии электрического поля конденсатора.

Что запомнить

• Электроёмкость уединённого проводника: C = q/φ.
• При неизменных проводнике и среде q пропорционален φ.
• Электроёмкость не зависит от сообщённого проводнику заряда.
• Электроёмкость зависит от размеров и формы проводника и свойств среды.
• Единица электроёмкости в СИ — фарад: 1 Ф = 1 Кл/В.
• Для сферы в вакууме C = 4πε₀R.