§ 90. Электроёмкость уединённого проводника

Определения и обозначения

Уединённый проводник — проводник, находящийся вдали от других заряженных тел, так что их влиянием можно пренебречь. Уединённость позволяет рассматривать заряд и потенциал проводника отдельно. На практике это приближение: достаточно, чтобы соседние тела заметно не меняли его электрическое состояние.

Потенциал проводника — физическая величина, характеризующая его электрическое состояние относительно выбранного нулевого уровня. Его обозначают φ и измеряют в вольтах. Нулевой уровень нужен, чтобы однозначно сравнивать потенциалы и связывать их с зарядом.

Электроёмкость уединённого проводника — отношение заряда проводника к его потенциалу: C = Q/φ. Здесь Q — заряд, а C — электроёмкость. Эта величина показывает, какой заряд соответствует данному потенциалу проводника, и позволяет сравнивать проводники.

Фарад — единица электроёмкости в СИ. По определению 1 Ф = 1 Кл/В: ёмкость равна одному фараду, если заряд в один кулон создаёт потенциал в один вольт. На практике часто встречаются меньшие единицы — микрофарад, нанофарад и пикофарад.

Как это устроено

Когда проводнику сообщают заряд, свободные заряды перемещаются под действием электрического поля. В электростатическом равновесии внутри проводника поле должно стать равным нулю: иначе заряды продолжали бы двигаться. Поэтому избыточный заряд располагается на поверхности, где его распределение устанавливается так, чтобы поле внутри компенсировалось.

Заряд создаёт электрическое поле и повышает потенциал проводника относительно выбранного нулевого уровня. Если добавить ещё заряд, поле и потенциал увеличатся; для проводника неизменной формы в той же среде потенциал растёт пропорционально заряду. Это следует из линейности электростатических уравнений: удвоение заряда удваивает создаваемый им потенциал. Поэтому отношение Q/φ остаётся неизменным.

Эту постоянную характеристику называют электроёмкостью и записывают C = Q/φ. В формуле Q — заряд проводника, φ — его потенциал, C — электроёмкость; в СИ она измеряется в фарадах. Для обычного уединённого проводника C положительна: заряд и потенциал имеют одинаковый знак. Физически ёмкость показывает, сколько заряда проводник может иметь при заданном потенциале.

Электроёмкость задаётся тем, как геометрия проводника и окружающая среда связывают заряд с потенциалом. Изменение формы или размеров меняет распределение поля, а вещество вокруг влияет на поле и потенциал. Поэтому при изменении этих условий может измениться C. Если же форма, размеры и среда постоянны, добавление заряда меняет Q и φ пропорционально, но не меняет их отношение.

Для изолированной сферической проводящей оболочки радиуса R в вакууме потенциал поверхности равен φ = Q/(4πε₀R), где ε₀ — электрическая постоянная. Подставив эту связь в C = Q/φ, получаем C = 4πε₀R. В однородной среде с относительной диэлектрической проницаемостью εᵣ формула принимает вид C = 4πε₀εᵣR. Значит, большая сфера имеет большую ёмкость, а диэлектрик увеличивает её в εᵣ раз.

Основные величины и зависимости для электроёмкости уединённого проводника

Сначала определите, какой объект рассматривается: для сферы используйте формулу с радиусом, для проводника в целом — определение C = Q/φ. Если известна электроёмкость, связь Q = Cφ помогает найти заряд или потенциал. Перед вычислениями переводите значения в СИ.

Разбор задач

Задача 1. Изолированной металлической сфере радиусом 10 см сообщили заряд 2 нКл. Определить её электроёмкость и потенциал. Сначала находим ёмкость из геометрии сферы, а затем используем заряд, чтобы определить потенциал.

1. Переведём величины в СИ: R = 0,10 м, Q = 2·10⁻⁹ Кл.
2. Для сферы в вакууме C = 4πε₀R. Так как 1/(4πε₀) ≈ 9·10⁹ Н·м²/Кл², C = R/(9·10⁹) ≈ 1,1·10⁻¹¹ Ф = 11 пФ.
3. Найдём потенциал: φ = Q/C ≈ 2·10⁻⁹/(1,1·10⁻¹¹) ≈ 180 В.

Ответ: C ≈ 11 пФ, φ ≈ 180 В. Потенциал получен делением заряда на ёмкость, а не из отдельной формулы для сферы.

Задача 2. Потенциал уединённого проводника увеличили в 3 раза. Как изменятся его заряд и энергия электрического поля, если форма проводника и среда неизменны? Поскольку геометрия и среда прежние, ёмкость сохраняется, а значит, можно применить зависимости Q = Cφ и W = Cφ²/2.

1. Обозначим начальный потенциал φ. Новый потенциал равен 3φ, а C остаётся постоянной.
2. Из Q = Cφ следует, что новый заряд Q′ = C·3φ = 3Q. Заряд увеличится в 3 раза.
3. Для энергии W = Cφ²/2 получаем W′ = C(3φ)²/2 = 9W. Энергия увеличится в 9 раз.

Ответ: заряд возрастёт в 3 раза, энергия поля — в 9 раз. Квадрат в формуле энергии объясняет, почему энергия меняется сильнее, чем потенциал.

Задача 3. Электроёмкость уединённой металлической сферы в вакууме равна 100 пФ. Определить её радиус, а затем найти электроёмкость в среде с относительной диэлектрической проницаемостью 4. Здесь сначала надо обратить формулу ёмкости сферы, а затем учесть свойства среды.

1. Переведём ёмкость: C = 100 пФ = 1·10⁻¹⁰ Ф.
2. Из C = 4πε₀R получаем R = C/(4πε₀). Используя 1/(4πε₀) ≈ 9·10⁹, находим R ≈ 9·10⁹·1·10⁻¹⁰ = 0,90 м.
3. В среде Cср = εᵣCвак = 4·100 пФ = 400 пФ.

Ответ: радиус сферы примерно 0,90 м, ёмкость в среде — 400 пФ. Радиус не меняется при помещении сферы в среду, но её электроёмкость возрастает.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что электроёмкость зависит от сообщённого заряда, потому что заряд стоит в числителе C = Q/φ. При этом забывают, что с ростом Q пропорционально растёт и φ. Проверка: если заряд увеличить в несколько раз при тех же условиях, отношение Q/φ должно остаться прежним.

Формулу C = Q/φ нельзя применять, не задав нулевой уровень потенциала и не проверив условия уединённости. Потенциал отсчитывают относительно выбранного уровня, а другие заряженные тела могут изменить его. Перед расчётом уточните, можно ли ими пренебречь и относительно чего задан потенциал.

Часто подставляют в формулы радиус в сантиметрах, заряд в нанокулонах или ёмкость в пикофарадах без перевода в СИ. Так результат отличается в десятки, миллиарды и другие степени раз. Проверяйте размерности и заранее переводите величины: сантиметры — в метры, нКл — в Кл, пФ — в Ф.

Ещё одна ошибка — путать ёмкость уединённого проводника с ёмкостью конденсатора и использовать формулу плоского конденсатора для сферы. Эти формулы описывают разные объекты и разные условия: у конденсатора учитывают два проводника, а для изолированной сферы применяют C = 4πε₀R в вакууме. Перед выбором формулы определите, рассматривается один проводник или система проводников.

Связь с другими темами

Для изучения электроёмкости нужны понятия электрического поля, потенциала и заряда проводника, а также знание о поведении проводников в электростатическом поле. Следующий шаг — конденсаторы и ёмкость системы проводников: там учитывают не один проводник, а взаимодействие нескольких. Понятие ёмкости помогает описывать накопители заряда, кабели и электростатические приборы, а также рассчитывать схемы с конденсаторами.

Что запомнить

• Уединённый проводник не испытывает заметного электростатического влияния других тел.
• Электроёмкость проводника определяется отношением его заряда к потенциалу: C = Q/φ.
• При неизменных форме, размерах и окружающей среде электроёмкость постоянна.
• Единица электроёмкости в СИ — фарад: 1 Ф = 1 Кл/В.
• Для изолированной сферы C = 4πε₀R.
• Увеличение радиуса сферы приводит к увеличению её электроёмкости.
• Введение диэлектрика с относительной проницаемостью εᵣ увеличивает электроёмкость в εᵣ раз.