§ 91. Электроёмкость конденсатора

Определения и обозначения

Конденсатор — система из двух проводников, разделённых диэлектриком, на которых накапливаются равные по модулю и противоположные по знаку заряды. Проводники называют обкладками. Такая конструкция позволяет создать поле между обкладками и хранить в нём энергию.

Электроёмкость — физическая величина, характеризующая способность конденсатора накапливать электрический заряд. Её обозначают буквой C. Чем больше ёмкость, тем больший заряд можно сообщить конденсатору при том же напряжении.

Фарад — единица электроёмкости; конденсатор имеет ёмкость 1 Ф, если при напряжении 1 В модуль заряда одной его обкладки равен 1 Кл. Используют также микрофарады, нанофарады и пикофарады. На практике эти единицы удобнее, потому что ёмкости реальных конденсаторов часто намного меньше 1 Ф.

Плоский конденсатор — конденсатор с двумя близко расположенными параллельными проводящими пластинами. В центральной части пространство между пластинами можно считать однородным электрическим полем. Такая модель позволяет связать ёмкость с площадью пластин, расстоянием между ними и свойствами диэлектрика.

Как это устроено

При сообщении проводнику заряда его электрический потенциал изменяется, потому что заряженные частицы создают электрическое поле. Для данной формы и размеров проводника добавление заряда вызывает пропорциональное изменение потенциала: чем больше заряд, тем сильнее меняется потенциал. Поэтому отношение заряда к потенциалу для одной и той же системы остаётся постоянным, если окружающие условия не меняются.

У конденсатора рядом находятся два проводника с противоположными зарядами. Поля отдельных обкладок складываются главным образом в пространстве между ними и частично компенсируются снаружи. Поэтому значительный заряд можно накопить при сравнительно небольшом напряжении между обкладками: влияние одной обкладки помогает удерживать заряд другой.

Напряжение U показывает разность потенциалов обкладок, а q — модуль заряда одной из них. Именно поэтому электроёмкость определяют как отношение C = q/U, а не как сам заряд. Если конструкция конденсатора не меняется, увеличение q сопровождается таким же пропорциональным увеличением U, и C остаётся постоянной.

Ёмкость плоского конденсатора зависит от площади обкладок S, расстояния между ними d и относительной диэлектрической проницаемости среды ε. Чем больше площадь, тем больше область, в которой создаётся поле, поэтому C увеличивается. Чем больше расстояние, тем труднее при том же заряде создать нужную разность потенциалов, поэтому C уменьшается.

Для плоского конденсатора справедлива формула C = ε₀εS/d, где ε₀ — электрическая постоянная. Внесение диэлектрика увеличивает ёмкость в ε раз по сравнению с вакуумом, поскольку поляризация диэлектрика ослабляет внутреннее поле. Изменение площади или расстояния также меняет C, но само по себе не создаёт новый заряд: заряд зависит ещё и от того, подключён ли конденсатор к источнику и какие условия подключения сохраняются.

Основные характеристики конденсатора

Сначала определите, какую величину требуется найти, затем выберите строку с подходящей формулой. Следите, чтобы заряд был взят по модулю для одной обкладки, а все значения были выражены в согласованных единицах. Для анализа изменения ёмкости удобно использовать пропорциональные зависимости из таблицы.

График зависимости заряда от напряжения показывает, что для данного конденсатора q прямо пропорционален U. Наклон прямой равен электроёмкости: более крутая прямая соответствует большей ёмкости.

Разбор задач

Задача 1

Конденсатор заряжен до напряжения 200 В, заряд одной обкладки равен 4·10⁻⁴ Кл. Найдём его электроёмкость.

1. Записываем определение: C = q/U.
2. Подставляем значения: C = (4·10⁻⁴ Кл)/(200 В).
3. Выполняем деление: C = 2·10⁻⁶ Ф. Это можно записать как 2 мкФ.

Ответ: электроёмкость конденсатора равна 2 мкФ. В формулу подставлен заряд одной обкладки, а не сумма модулей зарядов двух обкладок.

Задача 2

Ёмкость конденсатора равна 5 мкФ, а напряжение между его обкладками — 120 В. Определим заряд одной обкладки.

1. Выражаем заряд из формулы C = q/U: q = CU.
2. Переводим ёмкость в единицы СИ: 5 мкФ = 5·10⁻⁶ Ф.
3. Подставляем данные: q = 5·10⁻⁶ Ф · 120 В = 6·10⁻⁴ Кл.

Ответ: модуль заряда одной обкладки равен 6·10⁻⁴ Кл. На второй обкладке будет заряд такой же величины, но противоположного знака.

Задача 3

Рассмотрим плоский конденсатор с площадью пластин S, расстоянием между ними d и относительной диэлектрической проницаемостью ε. Требуется выразить его ёмкость и установить, как она изменится при увеличении расстояния между пластинами.

1. Используем формулу плоского конденсатора: C = ε₀εS/d.
2. Подставляем заданные числовые значения S, d и ε, если они приведены в условии, и получаем ёмкость в фарадах.
3. Из формулы видно, что C обратно пропорциональна d. Если расстояние увеличить в n раз, ёмкость уменьшится в n раз: C₂ = C₁/n.

Ответ: C = ε₀εS/d, а при увеличении расстояния между пластинами ёмкость уменьшается. Для численного результата необходимо подставить конкретные значения параметров из условия.

Типичные ошибки

Считать, что электроёмкость зависит от накопленного заряда или напряжения, неверно: для данного конденсатора их отношение постоянно. Так ошибаются, потому что путают характеристику устройства с его текущим состоянием. Проверьте себя формулой C = q/U: при пропорциональном изменении q и U результат не меняется.

Нельзя подставлять в формулу заряд всего конденсатора вместо заряда одной обкладки по модулю. Алгебраическая сумма зарядов обкладок равна нулю, но в формуле берут q одной пластины. Проверка проста: обозначьте заряды как +q и −q и используйте только величину q.

Электроёмкость часто путают с зарядом, поэтому ей приписывают единицу кулон. Кулон измеряет заряд, а ёмкость измеряется в фарадах: 1 Ф = 1 Кл/В. Сверяйте единицу с самой величиной до подстановки чисел.

Неверно считать, что увеличение любого размера повышает ёмкость. Из формулы C = ε₀εS/d следует: рост площади пластин увеличивает C, а рост расстояния уменьшает её. Проверьте, находится ли параметр в числителе или знаменателе.

Связь с другими темами

Для понимания электроёмкости нужны понятия электрического заряда, потенциала и напряжения, а также работа электрического поля. Формула плоского конденсатора опирается на знания о поле между заряженными пластинами и поляризации диэлектриков. Позже эта тема понадобится при изучении соединений конденсаторов, энергии электрического поля и переходных процессов в электрических цепях.

Что запомнить

• Конденсатор состоит из двух проводников, разделённых диэлектриком.
• На обкладках конденсатора находятся равные по модулю противоположные заряды.
• Электроёмкость определяется формулой C = q/U.
• Единица электроёмкости — фарад: 1 Ф = 1 Кл/В.
• Ёмкость плоского конденсатора равна C = ε₀εS/d.
• Электроёмкость определяется геометрией конденсатора и свойствами диэлектрика.