§ 101. Закон радиоактивного распада. Период полураспада

Определения и обозначения

Радиоактивный распад — самопроизвольное превращение нестабильного атомного ядра. Для отдельного ядра нельзя точно предсказать момент превращения: распад имеет случайный характер. Это понятие помогает отличать случайное событие с одним ядром от закономерностей, которые обнаруживаются в большом образце.

Закон радиоактивного распада задаёт зависимость числа нераспавшихся ядер от времени: N(t) = N₀e^(−λt). Здесь N₀ — число ядер в начальный момент, N(t) — число ядер, оставшихся через время t, а λ — постоянная распада. Закон нужен, чтобы рассчитать, сколько ядер останется в образце спустя заданное время.

Постоянная распада λ характеризует вероятность распада ядра за единицу времени. Её единица измерения — обратная единица времени, например с⁻¹ или сут⁻¹. Она также определяет скорость убывания числа нераспавшихся ядер: чем больше λ, тем быстрее уменьшается N(t).

Период полураспада T₁/₂ — время, за которое в среднем распадается половина ядер, имевшихся в начале этого периода. После его прохождения остаётся половина исходного количества. Эта величина позволяет сравнивать скорость распада разных радиоактивных веществ.

Как это устроено

Распад отдельного ядра нельзя предсказать, потому что для него можно говорить только о вероятности превращения за некоторый промежуток времени. Но в большом образце ядер очень много, и случайные события усредняются. Поэтому за равные промежутки времени распадается примерно одна и та же доля тех ядер, которые ещё не распались. Это не означает, что число распадов в каждом промежутке будет одинаковым.

Представим, что за один и тот же промежуток времени распадается одна и та же доля оставшихся ядер. Сначала эта доля берётся от большого количества, затем — от меньшего, поэтому число распадов постепенно сокращается. При линейном убывании за равные промежутки вычиталось бы одно и то же число ядер, но радиоактивный распад так не происходит. Постоянная доля приводит к экспоненциальному закону N(t) = N₀e^(−λt).

Постоянная распада задаёт, какая часть имеющихся ядер в среднем распадается за единицу времени. В непрерывной записи скорость уменьшения числа ядер выражает соотношение dN/dt = −λN: знак минус показывает, что N убывает. Если λ больше, доля распадающихся за одинаковое время ядер больше, и количество оставшихся ядер снижается быстрее. Поэтому у веществ с большой λ период полураспада короче.

Чтобы найти период полураспада, подставим в закон распада условие N(T₁/₂) = N₀/2. Тогда 1/2 = e^(−λT₁/₂), откуда после логарифмирования получаем T₁/₂ = ln 2 / λ. Эта формула показывает обратную связь: чем больше постоянная распада, тем меньше время, необходимое для уменьшения количества ядер вдвое. Число ln 2 приблизительно равно 0,693.

После первого периода остаётся половина начального количества, а после второго — половина этой оставшейся половины. Следовательно, после каждого следующего периода делить пополам нужно текущее количество, а не исходное. За n периодов остаётся доля 1/2ⁿ от N₀. Например, три периода оставляют 1/8 исходного количества.

Величины и зависимости в законе радиоактивного распада

Сначала определите, какая величина известна и какую требуется найти, затем выберите соответствующую строку. Для расчётов по времени проверьте, что единицы t и λ согласованы. Если задано целое число периодов полураспада, часто удобнее использовать долю 1/2ⁿ.

Разбор задач

Задача 1

В образце было 8000 радиоактивных ядер. Сколько ядер в среднем останется после одного периода полураспада? Период полураспада по определению уменьшает количество ядер вдвое. Поэтому здесь достаточно разделить начальное число на два.

1. Запишем начальное количество: N₀ = 8000.
2. После одного периода остаётся половина: N = N₀/2.
3. Вычислим: N = 8000/2 = 4000.

Ответ: в среднем останется 4000 ядер.

Задача 2

Период полураспада вещества равен 6 ч. Какая доля исходного количества ядер останется через 18 ч? Сначала выясним, сколько периодов прошло: это время наблюдения, делённое на период полураспада. Затем последовательно уменьшим количество вдвое; поскольку спрашивают долю, абсолютное начальное количество знать не нужно.

1. Найдём число периодов: n = 18 ч / 6 ч = 3.
2. После каждого периода остаётся половина предыдущего количества: 1/2 → 1/4 → 1/8.
3. Или применим формулу доли: N/N₀ = 1/2³ = 1/8.

Ответ: останется 1/8, или 12,5% исходного количества ядер.

Задача 3

Постоянная распада вещества равна 0,02 сут⁻¹. Найдите период полураспада и число ядер, оставшихся через 30 суток, если сначала было 10⁶ ядер. Поскольку λ задана в сут⁻¹, время в расчёте по закону распада следует выражать в сутках. Сначала найдём период, затем подставим значения в экспоненциальный закон.

1. Вычислим период: T₁/₂ = ln 2 / λ = 0,693 / 0,02 сут⁻¹ ≈ 34,7 сут.
2. Для 30 суток используем N(t) = N₀e^(−λt): N(30) = 10⁶e^(−0,02·30).
3. Показатель равен −0,6, поэтому N(30) ≈ 10⁶ · 0,549 ≈ 5,49 · 10⁵.
4. Проверим результат: 30 суток меньше одного периода полураспада, значит должно остаться больше половины исходного количества. Полученное значение этому соответствует.

Ответ: T₁/₂ ≈ 34,7 сут; через 30 суток останется примерно 5,49 · 10⁵ ядер.

Типичные ошибки

Ошибочно считать, что за каждый одинаковый промежуток времени распадается одно и то же число ядер. Так думают, подменяя постоянную долю постоянным количеством: на деле распады происходят среди ядер, которые ещё остались. Проверьте себя: если число оставшихся ядер уменьшается, то и одинаковая доля от него становится меньше. Значит, число распадов за равные интервалы обычно не одинаково.

При нескольких периодах иногда каждый раз вычитают половину первоначального количества. Ошибка возникает из-за того, что определение периода связывают только с исходным образцом. На самом деле половина берётся от количества в начале очередного периода: например, после двух периодов остаётся 1/4 начального числа. Проверка: запишите цепочку делений пополам или используйте формулу 1/2ⁿ.

Постоянную распада λ и период полураспада T₁/₂ можно перепутать, хотя они связаны обратной зависимостью. Из-за этого иногда делают вывод, что большая λ означает более долгий распад. Подставьте значения в T₁/₂ = ln 2 / λ: увеличение λ уменьшает период. Если ожидаемая связь не соответствует формуле, проверьте, не перепутаны ли величины.

Нельзя без проверки подставлять время в часах, если λ выражена в сут⁻¹. Такая ошибка возникает, когда единицы указаны отдельно и их связь упускают при вычислениях. Перед подстановкой переведите время в сутки или постоянную распада в ч⁻¹. Показатель экспоненты λt должен быть безразмерным — это удобная проверка согласованности единиц.

Связь с другими темами

Для работы с формулой распада нужно понимать, как меняется экспоненциальная функция, и уметь выполнять действия с показателем степени. Закон радиоактивного распада применяют при изучении активности радиоактивного вещества: активность связана с числом распадов за единицу времени. Он также помогает описывать ядерные превращения и оценивать возраст образцов. Во всех таких задачах важно различать случай отдельного события и закономерность, возникающую для большого числа ядер.

Что запомнить

• Число нераспавшихся ядер убывает со временем по экспоненциальному закону.
• Закон распада: N(t) = N₀e^(−λt).
• Постоянная распада λ характеризует скорость распада; её единица — обратная единица времени.
• Период полураспада — время, за которое остаётся половина ядер.
• Связь периода полураспада и постоянной распада: T₁/₂ = ln 2 / λ.
• После n периодов полураспада остаётся доля 1/2ⁿ исходного количества ядер.
• Закон описывает статистическое поведение большого числа ядер, а не точный момент распада отдельного ядра.