"Физика. Оптика. Квантовая физика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Радиоактивный распад — самопроизвольное превращение нестабильных атомных ядер. Момент распада отдельного ядра случаен, но для большого количества ядер проявляется точная статистическая закономерность: их число экспоненциально уменьшается со временем. Закон распада позволяет вычислять оставшееся количество ядер и активность образца, а период полураспада показывает, за какое время остаётся половина ядер.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Радиоактивный распад — самопроизвольное превращение нестабильного атомного ядра в другое ядро с испусканием частиц или излучения. Каждое ядро распадается независимо от остальных, поэтому нельзя указать точный момент распада заранее. Понятие нужно, чтобы описывать превращения радиоактивных веществ без внешнего воздействия.
Постоянная радиоактивного распада λ — характеристика радионуклида, связанная с вероятностью распада ядра за единицу времени. Для малого промежутка времени Δt вероятность распада примерно равна λΔt. Единица λ — обратная единица времени: с⁻¹, мин⁻¹ или год⁻¹.
Закон радиоактивного распада записывают так: N(t) = N₀e−λt. Здесь N₀ — число ядер в начальный момент, N(t) — число нераспавшихся ядер через время t, а e — основание натуральных логарифмов. Формула позволяет рассчитать состав образца в любой момент времени.
Период полураспада T₁/₂ — время, за которое в среднем распадается половина исходного числа ядер. Он связан с постоянной распада формулой T₁/₂ = ln 2/λ. Эта величина удобна для быстрых расчётов и сравнения устойчивости разных радионуклидов.
Распад отдельного ядра имеет случайный характер: даже абсолютно одинаковые ядра могут распасться в разные моменты. Однако у каждого ядра в каждом одинаковом промежутке времени сохраняется одна и та же вероятность распада. Поэтому для большого числа ядер случайности отдельных событий усредняются, и появляется устойчивая закономерность.
Если нераспавшихся ядер было N, то за малое время dt распадётся в среднем λNdt ядер. Знак минус показывает, что число оставшихся ядер уменьшается, поэтому изменение описывается уравнением dN/dt = −λN. Скорость уменьшения пропорциональна самому числу ещё не распавшихся ядер: чем их больше, тем больше распадов происходит за единицу времени.
Разделим переменные в уравнении и учтём начальное условие N = N₀ при t = 0. Интегрирование даёт ln(N/N₀) = −λt, а после перехода от логарифма к числу получаем N(t) = N₀e−λt. При положительных λ и t показатель степени отрицателен, поэтому множитель e−λt постепенно уменьшается от единицы к нулю.
Положим в закон распада t = T₁/₂. По определению в этот момент N = N₀/2, значит, ½ = e−λT₁/₂. Логарифмирование равенства даёт T₁/₂ = ln 2/λ. После каждого такого периода вдвое уменьшается не первоначальное, а оставшееся к началу периода количество ядер.
Если прошло t времени, число периодов равно t/T₁/₂, поэтому N = N₀(½)t/T₁/₂. Например, после трёх периодов остаётся 1/8 начального числа, а после n периодов — доля (½)ⁿ. Активность A — число распадов в единицу времени — равна A = λN, поэтому при неизменной λ она уменьшается в той же пропорции, что и число нераспавшихся ядер.
В таблице собраны обозначения, определения и основные формулы темы. Сначала определите, какая величина известна в задаче, затем выберите связанное с ней соотношение. Следите, чтобы время в формулах и единицы постоянной распада были согласованы.
| Величина или соотношение | Обозначение | Определение или формула | Единица измерения |
|---|---|---|---|
| Число нераспавшихся ядер | N(t) | Количество ядер, сохранившихся к моменту t | 1, безразмерная величина |
| Начальное число ядер | N₀ | Число ядер при t = 0 | 1, безразмерная величина |
| Постоянная радиоактивного распада | λ | Вероятностная характеристика; λ = −(1/N)dN/dt | с⁻¹, мин⁻¹, год⁻¹ |
| Период полураспада | T₁/₂ | T₁/₂ = ln 2/λ | с, мин, ч, год |
| Закон радиоактивного распада | N(t) | N(t) = N₀e−λt = N₀(½)t/T₁/₂ | 1, безразмерная величина |
| Активность и её связь с числом ядер | A | A = λN | беккерель, Бк = с⁻¹ |
Условие: период полураспада изотопа равен 8 суткам. Какая часть первоначального количества ядер останется через 24 суток?
Ответ: останется 1/8 первоначального количества, или 12,5%.
Условие: в образце было 6,0 · 10²⁰ радиоактивных ядер, период полураспада равен 5 годам. Сколько ядер останется через 15 лет?
Ответ: 7,5 · 10¹⁹ ядер.
Условие: за 12 часов число нераспавшихся ядер уменьшилось в 8 раз. Требуется найти период полураспада и постоянную распада.
Ответ: T₁/₂ = 4 ч, λ ≈ 0,173 ч⁻¹. Если требуется λ в СИ, переведите 4 часа в 14 400 секунд: λ ≈ 4,81 · 10⁻⁵ с⁻¹.
Половина первоначального количества на каждом шаге. Ошибка возникает, когда период полураспада понимают как повторное вычитание одной и той же величины. На самом деле каждый раз остаётся половина текущего количества; проверить себя можно последовательностью N₀, N₀/2, N₀/4, N₀/8.
Путаница λ и T₁/₂. λ — постоянная распада с единицей обратного времени, а T₁/₂ — время, поэтому они не могут быть одной и той же величиной. Проверка проста: используйте формулу T₁/₂ = ln 2/λ и убедитесь, что размерность результата — время.
Разные единицы времени. Подстановка часов в одной величине и суток в другой меняет численный результат в несколько раз. Перед вычислением приведите t и T₁/₂ к одним единицам либо согласуйте их с единицей λ.
Точное предсказание для малого образца. Закон распада описывает среднее статистическое поведение большого числа ядер, а не заранее известную судьбу каждого ядра. Для проверки сформулируйте результат как ожидаемое или среднее количество, особенно если образец содержит мало ядер.
Для понимания закона нужны знания о строении атомного ядра, радиоактивности и экспоненциальной функции. Ядро состоит из протонов и нейтронов, а радиоактивность показывает, что некоторые ядерные состояния нестабильны и могут самопроизвольно изменяться.
Тема нужна при изучении активности источников и ядерных превращений: формула A = λN связывает распад с измеряемым числом распадов в секунду. Закон также применяют при датировании образцов, когда по оставшейся доле радиоактивного изотопа оценивают время, прошедшее после его образования.
Можно ли предсказать, когда распадётся конкретное ядро?
Нет, момент распада отдельного ядра предсказать невозможно: он случаен. Можно определить лишь вероятность распада за заданный промежуток времени и закономерность для большого числа ядер.
Почему число ядер уменьшается не линейно, а по экспоненциальному закону?
За одинаковое время распадается примерно одна и та же доля имеющихся ядер, а не одно и то же их количество. Поэтому по мере уменьшения числа ядер скорость распада тоже уменьшается, что и приводит к экспоненте.
Как найти, какая часть вещества останется через несколько периодов полураспада?
Нужно определить число периодов n = t/T₁/₂. Оставшаяся доля равна (½)ⁿ: после одного периода остаётся ½, после двух — ¼, после трёх — ⅛.
От чего зависит период полураспада радиоактивного изотопа?
Период полураспада определяется свойствами конкретного радиоактивного изотопа и практически не зависит от начального количества вещества. Он связан с постоянной распада формулой T₁/₂ = ln 2/λ.
Как связаны период полураспада и постоянная распада?
Это характеристики одного радионуклида, связанные соотношением T₁/₂ = ln 2/λ. Чем больше λ, тем быстрее идёт распад и тем меньше период полураспада.
§ 7.6. Закон радиоактивного распада. Период полураспада
