§ 94. Квантовые постулаты Бора. Модель атома водорода по Бору

Определения и обозначения

Постулаты Бора — два положения о строении атома: существуют стационарные состояния, а переходы между ними сопровождаются квантами излучения. Они нужны, чтобы описать атом там, где законы классической физики дают противоречивый результат.

Стационарное состояние — состояние атома с определённой энергией, в котором электрон не излучает энергию. Поэтому электрон может долго находиться на разрешённой орбите, не теряя энергию и не падая на ядро.

Условие квантования — правило mvr = nℏ, где m — масса электрона, v — его скорость, r — радиус орбиты, n — целое число, ℏ — постоянная Планка. Оно выделяет из множества возможных орбит только разрешённые.

Квантовый переход — переход электрона между стационарными состояниями с поглощением или испусканием фотона. Именно такие переходы связывают внутреннюю энергию атома с наблюдаемым светом.

Как это устроено

Планетарная модель Резерфорда предполагает, что электрон движется вокруг ядра, как планета вокруг Солнца. Но движущийся по окружности заряд имеет ускорение и, согласно классической электродинамике, должен излучать электромагнитные волны. Теряя энергию, электрон стал бы двигаться по спирали, уменьшать скорость и в конце упал бы на ядро, хотя атомы устойчивы.

Первый постулат Бора устраняет это противоречие особым допущением: электрон может находиться только на некоторых стационарных орбитах. На них он не излучает энергию, несмотря на движение. Поэтому устойчивость атома объясняется не обычным равновесием сил, а существованием разрешённых состояний, в которых энергия электрона сохраняется.

Условие mvr = nℏ задаёт допустимые орбиты. Для водорода из него вместе с законом Кулона получают rₙ = n²r₁: при увеличении n радиус растёт как квадрат номера орбиты. Энергия уровней равна Eₙ = −13,6/n² эВ, поэтому на первом уровне электрон связан сильнее всего, а при больших n энергия приближается к нулю.

Излучение или поглощение возникает не во время движения по стационарной орбите, а при переходе с одного уровня на другой. Энергия фотона определяется разностью энергий начального и конечного состояний: hν = |Eᵢ − E𝒇|. При переходе вниз атом испускает фотон, а при переходе вверх поглощает фотон с подходящей энергией.

Так модель Бора объясняет линейчатый спектр водорода: набор возможных разностей энергий дискретен, поэтому дискретны и частоты фотонов. Переходы электронов на один и тот же нижний уровень образуют спектральную серию. Например, переходы на первый уровень относятся к одной серии, на второй — к другой, а их линии имеют разные диапазоны частот.

Стационарные состояния и переходы в атоме водорода

В таблице сравниваются состояние электрона на одном уровне и его переход между уровнями. Формула энергии задаёт положение уровня, а разность энергий определяет свойства испущенного или поглощённого фотона. Если нужно найти частоту линии, используют разность энергий и формулу ν = |Eᵢ − E𝒇|/h.

Разбор задач

Задача 1. Электрон в атоме водорода переходит с уровня n = 3 на уровень n = 2. Найдём энергию испущенного фотона. Поскольку переход идёт на уровень с меньшей энергией, фотон именно испускается.

1. Вычислим энергии уровней: E₃ = −13,6/9 ≈ −1,51 эВ, E₂ = −13,6/4 = −3,40 эВ.
2. Найдём положительную энергию фотона: Eф = |E₃ − E₂| = |−1,51 + 3,40| ≈ 1,89 эВ.
3. При необходимости переведём результат в джоули: Eф ≈ 1,89 · 1,602 · 10⁻¹⁹ Дж ≈ 3,03 · 10⁻¹⁹ Дж.

Ответ: энергия испущенного фотона примерно равна 1,89 эВ, или 3,03 · 10⁻¹⁹ Дж.

Задача 2. Для того же перехода n = 3 → n = 2 определим частоту и длину волны. Сначала используем уже найденную энергию фотона, затем применим связи E = hν и λ = c/ν.

1. Частота равна ν = Eф/h = 3,03 · 10⁻¹⁹/(6,63 · 10⁻³⁴) ≈ 4,57 · 10¹⁴ Гц.
2. Длина волны λ = c/ν = 3,00 · 10⁸/(4,57 · 10¹⁴) ≈ 6,56 · 10⁻⁷ м.
3. Переведём длину волны: λ ≈ 656 нм. Это видимая красная линия спектра водорода.

Ответ: ν ≈ 4,57 · 10¹⁴ Гц, λ ≈ 656 нм.

Задача 3. Атом водорода поглотил фотон с длиной волны 97,3 нм и находился в основном состоянии. Нужно определить конечный уровень, поэтому сначала найдём энергию фотона и сравним её с разностью энергий уровней.

1. Энергия фотона Eф = hc/λ ≈ 12,74 эВ.
2. Для перехода с первого уровня на уровень n: Eф = Eₙ − E₁ = −13,6/n² + 13,6 = 13,6(1 − 1/n²).
3. Подставим число: 12,74 = 13,6(1 − 1/n²), откуда 1/n² ≈ 0,063, n² ≈ 16 и n = 4.

Ответ: электрон перешёл с основного уровня на уровень n = 4.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что электрон излучает энергию на любой орбите. Так рассуждают по классической картине движения заряда, но в модели Бора излучение бывает только при переходе между стационарными состояниями. Проверьте себя: если орбита названа стационарной, непрерывной потери энергии на ней нет.

Ошибка — принимать отрицательную энергию уровня за отрицательную энергию фотона. Знак минус показывает связанность электрона, а энергия фотона всегда положительна. При вычислении излучения берите модуль разности энергий.

Ошибка — использовать разность уровней без учёта направления перехода. Переход вниз сопровождается испусканием, а переход вверх требует поглощения фотона. Сначала сравните начальный и конечный уровни, затем выбирайте физический процесс.

Ошибка — считать, что при увеличении n радиус уменьшается. На самом деле rₙ = n²r₁, поэтому орбита становится больше, а энергия приближается к нулю. Быстрая проверка: уровень с большим n расположен дальше от ядра и слабее связан.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны модель атома Резерфорда, движение заряженной частицы и представление об энергии электромагнитного излучения. Также используется формула E = hν, связывающая энергию фотона с его частотой.

Модель Бора подготавливает изучение спектров атомов и постоянной Ридберга. Она вводит представление об энергетических уровнях, которое затем развивается в квантовой механике.

Эти идеи применяются при объяснении линейчатых спектров, поглощения и испускания света атомами. На их основе также проще понять принцип работы лазеров, хотя для сложных систем требуется более полное квантовое описание.

Что запомнить

• Электрон в атоме может находиться только на разрешённых стационарных состояниях.
• На стационарной орбите электрон не излучает энергию.
• Разрешённые орбиты определяются условием mvr = nℏ.
• Энергия уровня атома водорода равна Eₙ = −13,6/n² эВ.
• Фотон испускается или поглощается только при переходе между уровнями.
• Энергия фотона равна модулю разности энергий уровней: hν = |Eᵢ − E𝒇|.
• Линейчатый спектр водорода возникает из-за дискретности энергетических уровней.