§ 39. Импульс материальной точки. Другая формулировка второго закона Ньютона

Определения и обозначения

Импульс материальной точки — векторная величина, равная произведению массы точки на её скорость: p = mv. Буквой p обозначают импульс, m — массу, v — скорость. Эта величина нужна, чтобы описывать движение с учётом и массы, и скорости тела.

Направление импульса совпадает с направлением скорости, потому что массу умножают на вектор скорости. Поэтому импульс нельзя полностью описать только числом: при вычислениях важно учитывать направление движения. В СИ импульс измеряют в кг·м/с.

Импульс силы для постоянной силы — произведение силы на время её действия. Он показывает, насколько действие силы за данный промежуток способно изменить движение тела. Если сила меняется, рассматривают изменение импульса тела за время её действия и связывают его со средней силой за этот промежуток.

Результирующая сила — векторная сумма всех сил, действующих на тело. Именно её, а не каждую силу по отдельности, связывают с изменением импульса. Это определение помогает понять, почему противоположно направленные силы могут частично или полностью уравновесить друг друга.

Как это устроено

Масса показывает, насколько тело инертно, то есть насколько трудно изменить его скорость. Но одной массы недостаточно, чтобы сравнить движущиеся тела: нужно учесть и то, насколько быстро они движутся. Поэтому импульс объединяет массу и скорость в одной величине: при одинаковой скорости у более массивного тела импульс больше.

Поскольку скорость — вектор, импульс тоже является вектором. При сравнении двух импульсов нужно учитывать не только их модули, но и направления: одинаковые по модулю импульсы могут быть направлены в разные стороны. При сложении импульсов, как и сил, нельзя просто складывать числа, если направления различаются.

Связь с обычной записью второго закона Ньютона получается из определения импульса. При постоянной массе изменение импульса равно Δp = mΔv, а изменение скорости за время Δt связано с ускорением. Подставляя это в Fрез = ma, получаем Δp = FрезΔt: результирующая сила за промежуток времени сообщает телу изменение импульса.

Эту же связь записывают как другую формулировку второго закона Ньютона: Fрез = Δp/Δt. Она говорит, что результирующая сила равна отношению изменения импульса к промежутку времени, за который оно произошло. Чем быстрее меняется импульс, тем больше сила, необходимая для такого изменения.

При постоянной результирующей силе импульс изменяется в направлении этой силы, поскольку Δp = FрезΔt, а время положительно. Если результирующая сила равна нулю, изменение импульса тоже равно нулю. Значит, импульс остаётся постоянным, хотя тело при этом не обязательно покоится: оно может двигаться равномерно и прямолинейно.

Импульс и его изменение под действием результирующей силы

В таблице собраны определения и связи, которые удобно применять при решении задач. Сначала выбери строку, описывающую условие задачи, затем найди нужное соотношение и проверь направление величин. Для сил, действующих вдоль одной прямой, направления удобно обозначать знаками «плюс» и «минус».

Разбор задач

Задача 1. Тело массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с. Найдите модуль его импульса и укажите направление вектора.

1. Запишем определение импульса: p = mv. Здесь масса известна, а скорость задана по модулю.
2. Подставим числа: |p| = 2 кг · 3 м/с = 6 кг·м/с. Положительное значение показывает модуль импульса.
3. Направление импульса совпадает с направлением скорости тела. Если тело движется, например, вправо, его импульс также направлен вправо.

Ответ: модуль импульса равен 6 кг·м/с, направление совпадает с направлением скорости.

Задача 2. Мяч массой 0,5 кг изменил скорость с 4 м/с до 10 м/с в том же направлении за 0,2 с. Найдите изменение импульса и среднюю результирующую силу.

1. Так как направление скорости не изменилось, выберем его положительным. Тогда Δp = m(vкон − vнач) = 0,5 · (10 − 4) = 3 кг·м/с.
2. Изменение импульса положительно, значит, оно направлено по движению мяча. Среднюю результирующую силу найдём по формуле Fср = Δp/Δt.
3. Подставим время: Fср = 3/0,2 = 15 Н. Сила направлена туда же, куда изменение импульса.

Ответ: изменение импульса равно 3 кг·м/с, средняя результирующая сила — 15 Н по направлению движения.

Задача 3. На тело массой 3 кг в течение 2 с действуют силы 10 Н вправо и 4 Н влево. Начальная скорость равна 1 м/с вправо. Найдите конечную скорость.

1. Выберем направление вправо за положительное. Тогда результирующая сила Fрез = 10 − 4 = 6 Н, то есть направлена вправо.
2. За 2 с импульс тела изменится на Δp = FрезΔt = 6 · 2 = 12 кг·м/с. Начальный импульс равен pнач = mvнач = 3 · 1 = 3 кг·м/с вправо.
3. Конечный импульс pкон = pнач + Δp = 3 + 12 = 15 кг·м/с вправо. Разделим его на массу: vкон = pкон/m = 15/3 = 5 м/с вправо.

Ответ: конечная скорость тела равна 5 м/с и направлена вправо.

Типичные ошибки

Записывать импульс только как произведение массы на модуль скорости — значит потерять информацию о направлении. Так поступают, когда воспринимают импульс как обычное число, хотя скорость является вектором. Проверь себя: укажи направление импульса рядом с найденным модулем; оно должно совпасть с направлением скорости.

Складывать модули сил, направленных в разные стороны, неправильно, потому что результирующая сила — векторная сумма. Ошибка появляется, если не выбрать направление, которое считать положительным. Для проверки запиши силы со знаками: направленные противоположно силы получат разные знаки, а результат укажет направление результирующей силы.

Путать импульс тела и изменение импульса — значит подставлять в закон не ту величину. Импульс — значение в конкретный момент, а изменение импульса равно разности конечного и начального значений: Δp = pкон − pнач. Проверяй, что используешь оба состояния тела и вычитаешь начальный импульс из конечного, а не наоборот.

Использовать связь силы с изменением импульса без указания времени нельзя: Fрез = Δp/Δt относится к конкретному промежутку. Время действия силы иногда путают с конечным моментом времени, но это не одно и то же. Проверь, что Δt — именно длительность действия силы, например разность конечного и начального моментов.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, что скорость имеет направление, уметь работать с массой и понимать второй закон Ньютона в форме F = ma. Тогда связь Δp = FрезΔt получается из уже знакомого закона при постоянной массе, а выбор направления помогает правильно учесть силы.

Дальше импульс пригодится при изучении закона сохранения импульса и столкновений тел. В задачах о взаимодействии тел важно сравнивать импульсы до и после события и учитывать, что силы могут изменить их за время взаимодействия. Поэтому умение находить изменение импульса служит основой для анализа таких процессов.

Что запомнить

• Импульс материальной точки равен p = mv.
• Импульс — векторная величина, направленная так же, как скорость.
• Единица импульса в СИ — кг·м/с.
• Изменение импульса равно произведению результирующей силы на время её действия.
• Результирующая сила направлена так же, как изменение импульса.
• При нулевой результирующей силе импульс тела остаётся постоянным.