§ 53. Первое условие равновесия твердого тела

Определения и обозначения

Равновесие твердого тела — состояние, при котором тело не изменяет своего движения относительно выбранной системы отсчёта. Если тело покоится, его ускорение равно нулю. Это понятие позволяет рассматривать неподвижные бруски, опоры и узлы как тела, для которых силы уравновешены.

Первое условие равновесия — равенство нулю векторной суммы всех сил, действующих на тело: ΣF = 0. Оно показывает, что силы не вызывают поступательного ускорения. В записи складывают не числа, а векторы, поэтому учитывают и модули, и направления сил.

Равнодействующая сил — сила, которая оказывает на тело такое же действие, как все приложенные к нему силы вместе. Её обозначают, например, R и находят векторным сложением сил. Если R = 0, отдельные силы могут оставаться ненулевыми, но их общее поступательное действие компенсируется.

Проекция силы на ось — составляющая силы вдоль выбранного направления. Проекция положительна, если сила направлена вдоль положительной полуоси, и отрицательна при противоположном направлении. С помощью проекций векторное условие превращают в обычные уравнения, удобные для решения задач.

Как это устроено

Связь равновесия с первым законом Ньютона объясняется ролью равнодействующей. Если сумма сил не равна нулю, она сообщает телу ускорение, поэтому покой или равномерное прямолинейное движение изменяются. Когда равнодействующая равна нулю, ускорение тела равно нулю, и его движение не меняется в выбранной системе отсчёта.

Векторная запись первого условия имеет вид ΣF = 0. Знак суммы означает, что нужно сложить все силы, а стрелки у векторов показывают их направления. Нулевой результат получается не только при отсутствии сил: например, две равные противоположные силы взаимно компенсируются, потому что их векторы направлены в разные стороны.

Для решения плоской задачи выбирают две взаимно перпендикулярные оси x и y и заменяют одно векторное равенство двумя равенствами проекций: ΣFₓ = 0 и ΣFᵧ = 0. Это возможно потому, что любой вектор в плоскости однозначно задаётся двумя составляющими. Если обе суммы проекций равны нулю, равнодействующая не имеет ни горизонтальной, ни вертикальной составляющей.

Оси выбирают так, чтобы упростить разложение сил: одну часто направляют вдоль поверхности, другой — перпендикулярно ей или вдоль возможного движения. Каждую силу записывают со знаком, соответствующим её направлению относительно оси. В пространственной задаче проверяют три независимые проекции: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0 и ΣF𝓏 = 0.

Первое условие исключает только поступательное ускорение, но не всегда вращение. Даже при ΣF = 0 силы могут образовать пару, создающую момент и изменяющую вращательное движение тела. Поэтому полное равновесие твёрдого тела требует также проверки вращательного действия сил.

Первое условие равновесия: записи и смысл

Сначала определите, является ли задача плоской или пространственной, затем выберите оси и перенесите на них все силы. Таблица помогает понять, какую запись использовать и сколько независимых уравнений составить.

В каждой проекции силы складываются со знаками, а не только по модулям. Если направление неизвестной силы задано неверно, отрицательный результат при вычислении укажет на противоположное фактическое направление.

Разбор задач

1. Две противоположные силы

Условие: на тело действуют две силы по 5 Н, направленные в противоположные стороны. Нужно определить, может ли их равнодействующая быть равна нулю.

1. Выберем ось вдоль действия сил.
2. Одну силу запишем как +5 Н, а противоположную — как −5 Н.
3. Сложим проекции: R = 5 Н − 5 Н = 0.

Ответ: да, равнодействующая равна нулю. Силы не исчезают, а компенсируют друг друга как векторы.

2. Брусок на горизонтальной поверхности

Условие: брусок массой 2 кг покоится на горизонтальной поверхности. Других вертикальных сил, кроме силы тяжести, нет. Требуется найти реакцию опоры.

1. На брусок действуют сила тяжести mg вниз и реакция опоры N вверх.
2. Запишем равновесие по вертикальной оси: N − mg = 0.
3. Отсюда N = mg = 2 кг · 10 Н/кг = 20 Н.

Ответ: сила реакции опоры равна 20 Н и направлена вертикально вверх. Использовано условие, что вертикального ускорения у бруска нет.

3. Три силы у узла

Условие: к узлу приложены силы 30 Н вправо и 40 Н вверх, а также неизвестная сила. Узел находится в равновесии. Нужно найти модуль и направление неизвестной силы.

1. Для равновесия неизвестная сила должна компенсировать сумму заданных сил.
2. Её проекция по x равна −30 Н, а по y — −40 Н: Fₓ + 30 = 0, Fᵧ + 40 = 0.
3. Модуль найдём по теореме Пифагора: F = √(30² + 40²) = 50 Н.

Ответ: неизвестная сила равна 50 Н и направлена влево и вниз. Её направление образует с горизонталью угол примерно 53° вниз.

Типичные ошибки

Складывают модули вместо векторов. Так происходит, когда направления сил не отмечают на схеме. Проверьте себя: одинаковые силы, направленные противоположно, должны давать нулевую сумму, а не 10 Н.

Проверяют только одну ось. Нулевая сумма горизонтальных проекций ещё не означает равновесия по вертикали. Составляйте уравнения по всем независимым осям: в плоскости их обычно две.

Путают нулевую равнодействующую с отсутствием сил. Равнодействующая может быть нулевой из-за взаимной компенсации нескольких ненулевых сил. Для проверки перечислите все силы и сложите их с учётом направлений.

Считают первое условие достаточным для полного равновесия. Силы с нулевой суммой могут создать вращающий момент. Проверьте также, не возникает ли вращение вокруг выбранной точки.

Связь с другими темами

Перед изучением условия равновесия нужны первый закон Ньютона, понятия силы и равнодействующей, а также правила сложения векторов. Полезно уметь выбирать оси и вычислять проекции сил, включая проекции наклонных векторов.

Условие применяют в задачах статики: при исследовании брусков, узлов и опор. Вместе со вторым условием равновесия оно используется для анализа рычагов, конструкций и тел, которые могут вращаться.

Что запомнить

• При равновесии равнодействующая сил равна нулю.
• Первое условие равновесия записывают как векторную сумму всех сил, равную нулю.
• В плоской задаче суммы проекций сил на оси x и y равны нулю.
• Проекции сил учитывают со знаками, соответствующими выбранным направлениям осей.
• Нулевая равнодействующая означает отсутствие поступательного ускорения.
• Для полного равновесия твердого тела одного первого условия недостаточно.