§ 54. Второе условие равновесия твердого тела

Определения и обозначения

Момент силы — физическая величина, характеризующая вращательное действие силы относительно оси; если сила перпендикулярна плечу, M = Fd, единица измерения — Н·м. Здесь F — модуль силы, а d — её плечо. Момент нужен, чтобы сравнивать, насколько сильно разные силы стремятся повернуть тело.

Плечо силы — кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы. Линия действия — прямая, вдоль которой направлена сила. Плечо позволяет учитывать не только величину силы, но и то, насколько далеко от оси она приложена.

Ось вращения — прямая, относительно которой рассматривают возможное вращение тела. Она может проходить через точку опоры, шарнир или выбранную точку тела. Выбор оси нужен, чтобы определить плечи сил и составить уравнение моментов.

Второе условие равновесия — равенство нулю суммы моментов всех сил относительно оси. Иначе говоря, алгебраическая сумма моментов, вращающих тело в разные стороны, равна нулю. Это условие проверяет отсутствие вращения, но для полного равновесия его недостаточно: нужно также учесть равнодействующую сил.

Как это устроено

Сила способна не только перемещать тело, но и поворачивать его. Например, дверь легче открыть, если толкать её за ручку, а не рядом с петлями: в обоих случаях сила может быть одинаковой, но расстояние до оси вращения различается. Чем больше это расстояние, тем сильнее вращательное действие. Поэтому для описания поворота учитывают одновременно силу и её положение относительно оси.

Если сила перпендикулярна плечу, её момент вычисляют по формуле M = Fd. Так, при увеличении силы в два раза или плеча в два раза момент тоже увеличивается вдвое. Когда сила направлена под углом, нельзя брать расстояние от оси до точки приложения как плечо. Нужно измерить кратчайшее, то есть перпендикулярное, расстояние от оси до линии действия силы: именно оно показывает, насколько эффективно сила поворачивает тело.

Моменты сил направлены не так, как сами силы: они характеризуют направление возможного вращения. Чтобы сложить их, условно назначают одному направлению знак «плюс», а противоположному — «минус». Например, если положительным выбрано вращение против часовой стрелки, момент, поворачивающий тело по часовой стрелке, будет отрицательным. Благодаря знакам противоположно направленные моменты могут компенсировать друг друга.

Для равновесия тела сумма моментов относительно выбранной оси должна быть равна нулю. Это означает, что суммарное вращательное действие в одну сторону равно суммарному действию в другую. В простых задачах удобно записать равенство суммы моментов по часовой стрелке и суммы моментов против неё. Если после сложения моментов остаётся ненулевое значение, тело будет поворачиваться, даже если его поступательное движение исключено опорой.

Второе условие не описывает всё равновесие тела: силы могут уравновешивать вращение, но иметь ненулевую равнодействующую. Тогда тело будет ускоренно перемещаться, не обязательно вращаясь. Первое условие равновесия требует, чтобы равнодействующая всех сил была равна нулю, а второе — чтобы равнялась нулю сумма моментов. Только одновременное выполнение обоих условий означает полное равновесие твёрдого тела.

Момент силы и условие равновесия

При решении сначала выберите ось и определите плечо каждой силы, а затем рассчитайте моменты. Назначьте направлениям вращения знаки и проверьте, равна ли их алгебраическая сумма нулю. В таблице единица «м» относится к плечу, а «Н·м» — к моменту силы.

Разбор задач

Сравнение моментов на рычаге

На рычаг перпендикулярно действуют две силы: 10 Н на расстоянии 0,4 м от оси и 20 Н на расстоянии 0,2 м. Определите, находится ли рычаг в равновесии относительно вращения. Чтобы ответить, сравним моменты, а не только величины сил. Будем считать, что силы вращают рычаг в противоположные стороны.

1. Для первой силы найдём момент: M₁ = F₁d₁ = 10 Н · 0,4 м = 4 Н·м.
2. Для второй силы получим M₂ = F₂d₂ = 20 Н · 0,2 м = 4 Н·м.
3. Моменты направлены противоположно, поэтому их алгебраическая сумма равна 4 Н·м − 4 Н·м = 0. Второе условие равновесия выполнено.

Ответ: рычаг находится в равновесии относительно вращения. Этот вывод относится именно к вращательному равновесию; о полном равновесии можно судить, только проверив также равнодействующую сил.

Сила, приложенная к ключу

Ключ длиной 0,25 м вращает гайку. С какой силой нужно действовать перпендикулярно ключу, чтобы уравновесить момент 6 Н·м, создаваемый другой силой? Поскольку сила перпендикулярна ключу, расстояние от оси гайки до места её приложения равно плечу. Искомая сила должна создавать такой же по величине, но противоположный по направлению момент.

1. Запишем условие равенства противоположных моментов: Fd = 6 Н·м.
2. Выразим силу: F = 6 Н·м / 0,25 м.
3. Вычислим: F = 24 Н. Проверка единиц даёт (Н·м)/м = Н.

Ответ: нужно действовать с силой 24 Н в направлении, создающем момент, противоположный моменту другой силы. Если изменить направление силы, её момент будет не уравновешивать, а усиливать вращение.

Балка на шарнире с опорой на конце

Однородная балка длиной 4 м и весом 200 Н закреплена шарниром у края. На расстоянии 3 м от шарнира подвешен груз весом 300 Н; на другом конце действует вертикальная опора. Найдём её силу, обеспечивающую равновесие. Вес однородной балки приложен в её центре, то есть на расстоянии 2 м от шарнира.

1. Выберем ось через шарнир. Момент силы шарнира относительно этой оси равен нулю, поэтому она не войдёт в уравнение моментов.
2. Запишем условие вращательного равновесия: R · 4 м = 200 Н · 2 м + 300 Н · 3 м. Здесь R — сила опоры, направленная вверх.
3. Вычислим: R · 4 м = 400 Н·м + 900 Н·м = 1300 Н·м, поэтому R = 325 Н.
4. Проверим вертикальные силы по первому условию равновесия: вверх действуют R и сила шарнира, вниз — 200 Н и 300 Н. Значит, вертикальная сила шарнира должна быть направлена вниз и равна 175 Н, чтобы равнодействующая была нулевой.

Ответ: сила вертикальной опоры на другом конце балки равна 325 Н и направлена вверх. Проверка равновесия сил показывает, что шарнир при этом действует на балку вниз с силой 175 Н.

Типичные ошибки

• В формулу подставляют расстояние от оси до точки приложения силы вместо плеча. Так делают, потому что эти расстояния иногда совпадают; при наклонной силе они обычно различны. Проверьте себя: плечо должно быть перпендикулярным расстоянием от оси до линии действия силы.

• Считают, что увеличение силы всегда одинаково меняет вращательное действие, и забывают о плече. Ошибка возникает, когда сравнивают только значения сил, не учитывая место их приложения. Перед вычислением запишите для каждой силы и её модуль, и плечо, а затем найдите произведение Fd.

• Складывают моменты, не учитывая направления вращения. Тогда два момента, которые должны компенсировать друг друга, ошибочно складываются как положительные величины. Выберите положительное направление вращения и проставьте знаки до сложения; при равновесии алгебраическая сумма должна быть нулевой.

• Считают второе условие достаточным для полного равновесия. Нулевая сумма моментов исключает вращение, но тело всё ещё может перемещаться под действием ненулевой равнодействующей. Проверьте отдельно первое условие: сумма сил по каждому направлению тоже должна быть равна нулю.

Связь с другими темами

Для применения второго условия нужны понятия силы, равнодействующей и первого условия равновесия: они описывают отсутствие поступательного ускорения. Вместе с условием равенства нулю суммы моментов они дают полную проверку равновесия твёрдого тела. Тот же расчёт моментов используется при изучении рычагов, блоков и других простых механизмов. Он помогает понять, как сила и расстояние до оси влияют на работу механизма.

Что запомнить

• Момент силы характеризует её вращательное действие.
• Для перпендикулярной силы M = Fd.
• Плечо — кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы.
• Моменты, вращающие в разные стороны, учитывают с противоположными знаками.
• При равновесии алгебраическая сумма моментов сил равна нулю.
• Полное равновесие требует выполнения обоих условий равновесия.