§ 19. Движение заряженных частиц в магнитном поле. Сила Лоренца

Определения и обозначения

Магнитная индукция — векторная величина, характеризующая магнитное поле; её обозначают B и измеряют в теслах (Тл). Вектор B показывает направление магнитного поля и участвует в расчёте силы, действующей на заряд. Чем больше B, тем сильнее поле влияет на одинаково движущиеся частицы.

Сила Лоренца — сила, действующая на движущийся заряженный объект в магнитном поле. Её модуль вычисляют по формуле F_л = |q|vB sin α. Эта формула позволяет определить, насколько сильно поле изменит направление движения частицы.

Угол α — угол между векторами скорости частицы и магнитной индукции. Он определяет, какая часть скорости вызывает магнитное действие: при α = 0° или 180° сила равна нулю, а при α = 90° достигает максимума. Поэтому угол нужно учитывать до подстановки чисел в формулу.

Правило левой руки помогает определить направление силы Лоренца. Если ладонь левой руки обращена к линиям магнитного поля, четыре пальца направлены по скорости положительного заряда, а отставленный большой палец показывает силу. Для отрицательного заряда результат меняют на противоположный, что особенно важно при работе с электронами.

Как это устроено

Магнитное поле действует не на сам факт наличия заряда, а на его движение. Движущийся заряд создаёт вокруг себя электрическое поле, и взаимодействие этого движения с магнитным полем приводит к появлению поперечной силы. Поэтому при v = 0 магнитная сила отсутствует, даже если заряд находится внутри сильного поля.

Из формулы F_л = |q|vB sin α видно, от чего зависит действие поля. Увеличение модуля заряда, скорости или индукции пропорционально увеличивает силу, а угол задаёт множитель sin α. При параллельном движении sin 0° = 0, при перпендикулярном sin 90° = 1, поэтому в последнем случае воздействие максимально.

Сила Лоренца направлена перпендикулярно и скорости, и магнитной индукции. Работа силы определяется произведением её составляющей вдоль перемещения на путь, а такой составляющей здесь нет. Значит, сила не увеличивает и не уменьшает кинетическую энергию: модуль скорости остаётся прежним, меняется только её направление.

Если скорость параллельна B, сила равна нулю и частица продолжает прямолинейное равномерное движение. При перпендикулярной скорости сила постоянно поворачивает вектор скорости, сохраняя его длину, поэтому траектория становится окружностью. При наклонном влёте можно разделить скорость на параллельную и перпендикулярную составляющие: первая обеспечивает равномерное движение вдоль поля, а вторая — вращение.

Для поперечной скорости сила Лоренца выполняет роль центростремительной силы: |q|vB = mv²/R. Отсюда R = mv/(|q|B), то есть радиус растёт с массой и скоростью и уменьшается с зарядом и индукцией. Длина окружности проходится за период T = 2πR/v = 2πm/(|q|B), поэтому период не зависит от скорости частицы.

Движение заряженной частицы в магнитном поле

Сначала определите угол между скоростью и полем, а затем выберите соответствующую строку. Формула для окружности применима только к перпендикулярной составляющей скорости, тогда как при наклонном влёте нужно рассматривать движение по винтовой линии. При смене знака заряда численное значение силы не меняется, но направление закручивания становится противоположным.

Разбор задач

1. Движение вдоль линий поля

Условие: заряженная частица движется параллельно линиям однородного магнитного поля. Нужно определить силу Лоренца и характер движения.

1. Угол между v и B равен 0° (или 180°), поэтому sin α = 0.
2. Подставляем в формулу: F_л = |q|vB · 0 = 0.
3. Раз магнитная сила отсутствует, она не может изменить скорость или траекторию частицы.

Ответ: F_л = 0; частица движется прямолинейно и равномерно.

2. Протон влетает перпендикулярно полю

Условие: протон массой m = 1,67 · 10⁻²⁷ кг и зарядом q = 1,6 · 10⁻¹⁹ Кл движется со скоростью v = 2 · 10⁶ м/с перпендикулярно полю B = 0,5 Тл. Найдём силу и радиус траектории.

1. При α = 90° синус равен единице, поэтому F_л = |q|vB = 1,6 · 10⁻¹⁹ · 2 · 10⁶ · 0,5 = 1,6 · 10⁻¹³ Н.
2. Для радиуса используем R = mv/(|q|B), так как сила перпендикулярна скорости и является центростремительной.
3. R = (1,67 · 10⁻²⁷ · 2 · 10⁶)/(1,6 · 10⁻¹⁹ · 0,5) ≈ 4,2 · 10⁻² м. Единица получается метр: кг·м/с делится на Кл·Тл, а Кл·Тл эквивалентно кг/с.

Ответ: F_л = 1,6 · 10⁻¹³ Н, R ≈ 4,2 см.

3. Электрон влетает под углом

Условие: электрон со скоростью v влетает в поле B под углом α к линиям поля. Требуется описать радиус, шаг винта и направление закручивания.

1. Разложим скорость: v_⊥ = v sin α и v_∥ = v cos α. Первая составляющая создаёт окружность радиуса R = m v sin α/(|q|B), вторая задаёт равномерное движение вдоль поля.
2. Период вращения электрона T = 2πm/(|q|B), поэтому шаг винта h = v_∥T = 2πmv cos α/(|q|B).
3. Правило левой руки сначала даёт направление для положительного заряда, но электрон имеет отрицательный заряд. Поэтому его траектория закручивается в противоположную сторону.

Ответ: R = m v sin α/(|q|B), h = 2πmv cos α/(|q|B); направление закручивания противоположно направлению для положительного заряда.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считают, что магнитная сила действует на покоящийся заряд. Так происходит из-за смешения магнитного и электрического действия; проверка проста: при v = 0 формула даёт F_л = 0.

Ошибка 2. Используют F_л = |q|vB при любом направлении движения. Эта запись верна только для α = 90°, поэтому сначала найдите угол и при необходимости добавьте множитель sin α.

Ошибка 3. Направляют силу вдоль скорости или магнитного поля. Сила Лоренца перпендикулярна обоим векторам, поэтому можно проверить ответ скалярным произведением: её работа должна быть равна нулю.

Ошибка 4. Применяют правило левой руки к электрону без изменения направления. Правило непосредственно даёт результат для положительного заряда; для отрицательного нужно развернуть найденный вектор силы.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны векторы, представление о силе как причине изменения движения, формулы движения по окружности и правило левой руки для проводника с током. Эти знания помогают связать направление поля, скорости и силы в одну схему.

Сила Лоренца объясняет действие силы Ампера и используется в масс-спектрометрах, циклотроне и ускорителях частиц. По радиусу траектории можно исследовать массу или заряд частицы.

Сравнение с электрическим полем показывает различие: электрическая сила может изменять энергию заряда, а магнитная при постоянном поле лишь искривляет движение. Поэтому магнитное поле меняет направление скорости, но не её модуль.

Что запомнить

• Сила Лоренца действует только на движущийся электрический заряд.
• Модуль силы Лоренца равен F_л = |q|vB sin α.
• Сила Лоренца перпендикулярна скорости частицы и магнитному полю.
• Магнитное поле не совершает работы над заряженной частицей.
• При v, параллельной B, частица движется прямолинейно и равномерно.
• При v, перпендикулярной B, частица движется по окружности.
• При наклонном влёте траектория частицы является винтовой линией.