"Физика (базовый уровень)", Мякишев Г.Я., Петрова М.А. и др.
Движение нельзя описать, не указав, относительно чего оно происходит: пассажир может покоиться относительно вагона и одновременно двигаться относительно Земли. Скорости тоже зависят от выбранной системы отсчёта. Закон сложения скоростей позволяет найти скорость тела относительно одной системы, если известны его скорость относительно другой и скорость движения этих систем. Скорости при этом складывают как векторы, учитывая их направления.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система отсчёта — это тело отсчёта, связанная с ним система координат и часы. Тело отсчёта выбирают для сравнения положения других тел, а координаты и часы позволяют отмечать, где и когда они находятся. Без такого выбора фраза «тело движется» не сообщает, относительно чего меняется его положение. Поэтому описание движения всегда ведут относительно определённой системы.
Относительность механического движения — зависимость положения тела, его траектории и скорости от системы отсчёта. Траектория — линия, по которой движется тело; в разных системах она может выглядеть по-разному. Это понятие нужно, чтобы не считать описание движения одинаковым для всех наблюдателей. Перед сравнением движений следует уточнить, откуда ведётся наблюдение.
Скорость тела относительно системы отсчёта — векторная величина, показывающая, как изменяется положение тела за единицу времени именно в этой системе. Скорость характеризуется модулем и направлением, а не только числом. Поэтому запись «скорость 5 м/с» неполна, если из условия неясно, относительно чего и куда движется тело. Указание системы отсчёта позволяет правильно истолковать эту величину.
Закон сложения скоростей — правило нахождения скорости тела относительно одной системы через его скорость относительно другой и скорость движения систем друг относительно друга. В классической механике векторы связывает соотношение v(A/C) = v(A/B) + v(B/C). Здесь A — тело, B и C — системы отсчёта, а запись v(A/B) означает скорость A относительно B. Закон нужен, например, чтобы по скорости лодки относительно воды определить её скорость относительно берега.
Представим пассажира, который сидит в вагоне поезда. Относительно вагона его положение не меняется, поэтому скорость пассажира в этой системе равна нулю. Для наблюдателя на Земле вагон перемещается, и пассажир вместе с ним движется. Различие возникает не из-за изменения самого пассажира, а потому, что наблюдатели сравнивают его положение с разными телами.
Поэтому при описании движения важно назвать систему отсчёта, к которой относится скорость. Например, скорость автомобиля относительно дороги и скорость автомобиля относительно движущегося грузовика — не одно и то же. Если две величины относятся к разным системам, складывать их без уточнения смысла нельзя. Название системы показывает, какое именно изменение положения измерено.
Рассмотрим тело A, движущееся относительно системы B, а систему B — относительно системы C. За один и тот же промежуток времени тело A получает перемещение относительно B, а система B — перемещение относительно C. Перемещение A относительно C складывается из этих двух перемещений: сначала учитывается сдвиг системы B, а затем движение тела внутри неё. Поскольку скорость равна перемещению за время, деление всех перемещений на общий промежуток времени даёт связь скоростей.
Так получается формула v(A/C) = v(A/B) + v(B/C). В классической механике она выражает сложение векторов, то есть одновременно учитывает значения скоростей и их направления. Скорость тела относительно неподвижной системы складывается из его скорости в подвижной системе и скорости самой подвижной системы. Именно поэтому скорость пассажира относительно Земли включает скорость его движения относительно вагона и скорость поезда относительно Земли.
Если скорости лежат на одной прямой и направлены одинаково, движение системы и тела усиливают друг друга, поэтому модули складываются. При противоположных направлениях одно движение частично компенсирует другое, и модули вычитаются; направление результата задаёт большая скорость. Если направления образуют угол, следует построить векторный параллелограмм или использовать компоненты векторов. Для перпендикулярных скоростей модуль суммы находят по теореме Пифагора.
| Случай движения | Связь скоростей | Как определить модуль результирующей скорости |
|---|---|---|
| Скорости направлены вдоль одной прямой в одну сторону | v = v₁ + v₂ | Сложить модули скоростей |
| Скорости направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны | v = v₁ + v₂ как векторы | Вычесть меньший модуль из большего |
| Скорости направлены под углом друг к другу | v = v₁ + v₂ как векторы | Построить сумму; при прямом угле применить √(v₁² + v₂²) |
| Одна из систем отсчёта покоится относительно другой | v(B/C) = 0, поэтому v(A/C) = v(A/B) | Модуль скорости тела в обеих системах одинаков |
Сначала определите, к каким системам относятся данные скорости, а затем сравните их направления. В таблице формула v = v₁ + v₂ для противоположных направлений означает именно векторную сумму, а не сложение модулей. Если одна система покоится относительно другой, относительная скорость систем равна нулю и добавлять её не требуется.
Пассажир идёт вдоль вагона со скоростью 1,2 м/с относительно вагона, а вагон движется относительно Земли со скоростью 15 м/с в том же направлении. Требуется найти скорость пассажира относительно Земли. Обе скорости направлены вдоль одной прямой и совпадают по направлению.
Обозначим скорость пассажира относительно вагона как v(п/в) = 1,2 м/с, а вагона относительно Земли как v(в/З) = 15 м/с. Искомая скорость — v(п/З). Такая запись помогает не перепутать, какое движение описывает каждое число.
Применим закон сложения: v(п/З) = v(п/в) + v(в/З). Поскольку пассажир идёт туда же, куда движется вагон, модули скоростей складываются. Получаем 1,2 + 15 = 16,2 м/с.
Обе скорости отсчитывались в метрах в секунду, поэтому перевод единиц не нужен. Результат больше скорости вагона, что ожидаемо: пассажир дополнительно движется вперёд внутри вагона. Ответ: 16,2 м/с относительно Земли.
Лодка движется относительно воды со скоростью 4 м/с, течение реки — 1,5 м/с. Нужно найти скорость лодки относительно берега сначала при движении по течению, затем против течения. Система отсчёта, связанная с водой, движется относительно берега вместе с течением.
Обозначим скорость лодки относительно воды v(л/в) = 4 м/с, а скорость воды относительно берега v(в/б) = 1,5 м/с. Для движения по течению эти векторы направлены одинаково, поэтому v(л/б) = 4 + 1,5 = 5,5 м/с. Направление скорости лодки совпадает с направлением течения.
При движении против течения скорость лодки относительно воды направлена противоположно скорости воды относительно берега. Поэтому модуль скорости относительно берега равен 4 − 1,5 = 2,5 м/с. Так как скорость лодки относительно воды больше скорости течения, лодка всё ещё движется вперёд.
В обоих случаях сначала рассматривают векторы, а не выбирают формулу по словам «по» или «против» без проверки направлений. Скорость по течению равна 5,5 м/с, а против течения — 2,5 м/с относительно берега. Ответы относятся к береговой системе отсчёта.
Самолёт летит относительно воздуха на север со скоростью 200 м/с, а ветер дует на восток со скоростью 30 м/с. Требуется найти модуль и направление скорости самолёта относительно Земли. Направления скоростей взаимно перпендикулярны, поэтому одной арифметической суммы модулей недостаточно.
Скорость самолёта относительно Земли — векторная сумма его скорости относительно воздуха и скорости воздуха относительно Земли. Выберем оси: север и восток. Тогда составляющие скорости равны 200 м/с на север и 30 м/с на восток.
По теореме Пифагора модуль результирующей равен √(200² + 30²) м/с = √40900 м/с ≈ 202,2 м/с. Он немного больше 200 м/с, потому что к северной составляющей добавляется поперечная восточная. Именно модуль, а не сумма 230 м/с, отвечает на вопрос о скорости самолёта относительно Земли.
Угол отклонения от направления на север найдём из отношения тангенса: tg α = 30/200. Значит, α ≈ 8,5° к востоку от севера. Ответ: приблизительно 202,2 м/с, направление — на северо-восток, примерно на 8,5° восточнее севера.
Не указывать, относительно какой системы отсчёта задана скорость, — значит смешивать величины, описывающие разные движения. Так поступают, когда в условии замечают числа, но пропускают слова «относительно воды» или «относительно Земли». Проверка: подпишите рядом с каждой скоростью оба объекта, между которыми она измерена, например v(л/в). Если системы не состыкованы, сначала найдите скорость одной системы относительно другой.
Складывать модули, не учитывая направления, неверно, потому что закон относится к векторам. Ошибка часто возникает, когда все значения подставляют в одну формулу, не делая схемы движения. Перед вычислением изобразите стрелками скорости и сравните их направления. В одну сторону модули складывают, в противоположные — вычитают, а при угле строят векторную сумму.
Скорость тела относительно подвижной системы нельзя автоматически считать его скоростью относительно Земли. Так ошибаются, забывая, что сама система может двигаться, например вместе с вагоном или водой. Проверьте, является ли промежуточная система неподвижной относительно Земли. Если она движется, добавьте её скорость относительно Земли как вектор.
В задачах о движении навстречу или против течения легко перепутать знак результата. Причина в том, что слова могут восприниматься по-разному, если не назвать направление, относительно которого ведётся отсчёт. Выберите положительное направление и нарисуйте скорости стрелками до вычисления. После решения проверьте, совпадает ли направление ответа с физическим смыслом ситуации.
Для изучения сложения скоростей нужны понятия перемещения и скорости: именно изменение положения за время связывает движение тела с измеряемой величиной. Также важно уметь складывать векторы, поскольку скорость имеет направление. Эти знания позволяют перейти от описания движения в одной системе к сравнению движений в нескольких системах.
Закон сложения скоростей применяют в задачах о поездах, лодках и самолётах, когда движение происходит относительно движущейся среды или объекта. Он помогает переводить скорость из одной системы отсчёта в другую и объяснять, почему показания зависят от наблюдателя. В дальнейшем тот же подход понадобится при изучении движения тел в различных системах отсчёта.
Почему пассажир в движущемся поезде может одновременно покоиться и двигаться?
Относительно вагона пассажир может не менять своего положения, поэтому он покоится в этой системе отсчёта. Но вагон движется относительно Земли, и вместе с ним перемещается пассажир. Поэтому относительно Земли пассажир движется.
Как понять, относительно какой системы отсчёта задана скорость?
Нужно посмотреть, между какими объектами описывается движение: например, лодки относительно воды или поезда относительно Земли. Система отсчёта обычно указана в условии словами «относительно берега», «относительно воздуха» и подобными. Если указания нет, его следует уточнить, иначе нельзя правильно применить закон сложения скоростей.
Почему скорости нужно складывать как векторы?
Скорость имеет не только модуль, но и направление. При сложении нужно учитывать, в какую сторону движется тело и в какую — система отсчёта. Поэтому векторы могут складываться, вычитаться или образовывать угол.
Когда скорости складываются, а когда вычитаются?
Если скорости направлены вдоль одной прямой в одну сторону, их модули складываются. Если они направлены противоположно, модули вычитаются, а направление результата совпадает с направлением большей скорости. При движении под углом нужно складывать векторы геометрически.
Как найти скорость самолёта относительно Земли, если дует боковой ветер?
Нужно сложить вектор скорости самолёта относительно воздуха с вектором скорости ветра относительно Земли. При перпендикулярных направлениях модуль результирующей скорости находят по теореме Пифагора. Направление можно определить по отношению соответствующих катетов.
§ 10. Относительность механичесого движения. Закон сложения скоростей
