§ 11. Кинематика движения по окружности

Определения и обозначения

Период обращения T — время, за которое тело совершает один полный оборот. В СИ период измеряется в секундах (с). Он показывает, сколько длится один цикл движения, и позволяет сравнивать скорость вращения разных тел.

Частота вращения ν — число полных оборотов за единицу времени; единица СИ — герц (Гц), то есть с⁻¹. Если за время T тело делает ровно один оборот, то за секунду оно делает 1/T оборота, поэтому ν = 1/T. Частота удобна, когда известно число оборотов за секунду.

Угловая скорость ω — отношение угла поворота радиуса-вектора к промежутку времени. Её единица — радиан в секунду (рад/с); при равномерном движении ω = 2π/T. Эта величина описывает, насколько быстро меняется положение точки по углу, независимо от радиуса её окружности.

Центростремительное ускорение aц — ускорение при движении по окружности, направленное от тела к её центру. В СИ оно измеряется в м/с². Оно характеризует изменение направления скорости и показывает, насколько быстро меняется вектор скорости.

Как это устроено

За один полный оборот радиус-вектор совершает полный поворот, а полный угол равен 2π радиан. Если вращение равномерное, за время T этот угол изменяется равномерно, поэтому угловая скорость равна отношению угла к времени: ω = 2π/T. Частота — это количество оборотов за секунду, тогда как период — длительность одного оборота; поэтому они взаимно обратны, а ω = 2πν. Так период позволяет перейти от времени одного цикла к скорости поворота.

Представим две точки одного вращающегося тела: одна находится ближе к оси, другая — дальше. За одинаковое время обе поворачиваются на одинаковый угол, значит, их угловые скорости равны. Но точка на большем радиусе проходит более длинную дугу за тот же промежуток времени. Поскольку длина дуги связана с углом формулой l = rφ, скорость этой точки равна v = rω; так получается связь v = ωr.

При равномерном движении по окружности тело за равные промежутки времени проходит равные дуги, поэтому модуль его скорости не меняется. Однако скорость — вектор: в каждой точке окружности она направлена по касательной, и эта касательная поворачивается вместе с телом. Значит, направление вектора скорости меняется, а изменение скорости означает наличие ускорения. Поэтому даже при постоянном модуле скорости движение по окружности является ускоренным.

За малый промежуток времени вектор скорости поворачивается вместе с точкой. Изменение скорости можно представить как разность конечного и начального векторов; при малом повороте оно направлено внутрь окружности. Чем меньше рассматриваемый промежуток времени, тем точнее это направление совпадает с направлением ускорения, поэтому ускорение направлено к центру и перпендикулярно скорости. Связь изменения скорости с угловой скоростью и радиусом даёт aц = v²/r; подстановка v = ωr приводит к равносильной формуле aц = ω²r.

Величины, описывающие равномерное движение по окружности

Сначала найдите в таблице нужную величину и проверьте, какие данные задачи с ней связаны. Если известны период или частота, через них можно получить угловую скорость, а затем — линейную. Направление ускорения и скорости помогает не перепутать эти векторы.

Разбор задач

Колесо делает 120 оборотов за 1 минуту. Найдите частоту вращения и период.

1. Переведём минуту в секунды: 1 мин = 60 с. Частота — число оборотов за секунду, поэтому нужно разделить 120 оборотов на 60 с. Получаем ν = 120/60 = 2 Гц.
2. Один оборот при такой частоте занимает время T = 1/ν. Подставим найденное значение: T = 1/2 = 0,5 с. Это также можно проверить делением общего времени на число оборотов: 60/120 = 0,5 с.

Ответ: частота вращения равна 2 Гц, период — 0,5 с.

Точка на ободе колеса радиусом 0,30 м вращается с периодом 2,0 с. Найдите её угловую и линейную скорости.

1. Угловая скорость показывает угол поворота за секунду, поэтому используем ω = 2π/T. При T = 2,0 с получаем ω = 2π/2,0 = π рад/с, или примерно 3,14 рад/с. Радиус для этого шага не нужен.
2. Теперь свяжем угловую скорость с линейной: v = ωr. Подставляем r = 0,30 м и ω ≈ 3,14 рад/с: v ≈ 3,14 · 0,30 = 0,94 м/с.
3. Проверим единицы: произведение рад/с на метры формально даёт м·рад/с, а радиан безразмерен, поэтому единица скорости — м/с. Больший радиус при той же угловой скорости дал бы большую линейную скорость.

Ответ: ω ≈ 3,14 рад/с, v ≈ 0,94 м/с.

Автомобиль движется по закруглению дороги радиусом 50 м со скоростью 10 м/с. Найдите центростремительное ускорение и сравните его с ускорением свободного падения.

1. Заданы линейная скорость v = 10 м/с и радиус r = 50 м, поэтому применяем формулу aц = v²/r. Подставим числа: aц = 10²/50 = 100/50 = 2 м/с². Квадрат скорости здесь важен: ускорение растёт быстрее, чем скорость.
2. Сравним результат с ускорением свободного падения g ≈ 9,8 м/с². Отношение aц/g = 2/9,8 ≈ 0,20. Значит, центростремительное ускорение составляет примерно одну пятую от g.
3. Проверим размерность: (м/с)² делим на м и получаем м/с², как и должно быть для ускорения. Радиус и скорость были заданы в единицах СИ, поэтому дополнительный перевод не нужен.

Ответ: aц = 2 м/с²; это примерно 0,20g, или одна пятая ускорения свободного падения.

Типичные ошибки

• Считать, что при постоянном модуле скорости ускорения нет. Так ошибаются, если принимают скорость за одно число и забывают, что это вектор. При движении по окружности направление скорости меняется, поэтому есть ускорение; проверьте, меняется ли направление вектора, а не только его длина.

• Путать период и частоту: период измеряется в секундах, частота — в герцах, а их значения взаимно обратны. Путаница возникает из-за того, что обе величины описывают обороты. Для проверки запишите смысл каждой: T — секунды на один оборот, ν — обороты за секунду, и используйте ν = 1/T.

• Подставлять в формулы линейную скорость вместо угловой или наоборот. Обе величины связаны с движением, поэтому их легко перепутать, если смотреть только на обозначения. Проверяйте единицы: v измеряется в м/с, ω — в рад/с; связать их можно формулой v = ωr.

• Направлять центростремительное ускорение по касательной или от центра. Касательная — направление мгновенной скорости, а не ускорения; ускорение связано с поворотом скорости и направлено к центру. Нарисуйте окружность, отметьте тело и проверьте, что стрелка ускорения указывает от него внутрь.

Связь с другими темами

Для описания вращения нужны знакомые из предыдущих тем понятия скорости и ускорения как векторных величин, а также умение отличать равномерное движение от неравномерного. Поворот измеряют в радианах: полный оборот соответствует 2π радиан. Позже центростремительное ускорение поможет изучить динамику движения по окружности и силу, которая его обеспечивает. В колёсах и шестернях точки одного тела имеют одинаковую угловую скорость, но из-за разных радиусов могут двигаться с разными линейными скоростями.

Что запомнить

• За один оборот тело проходит путь 2πr, а радиус-вектор поворачивается на 2π радиан.
• ν = 1/T.
• ω = 2π/T = 2πν.
• v = ωr.
• При равномерном движении по окружности модуль скорости постоянен, но её направление меняется.
• aц = v²/r = ω²r; ускорение направлено к центру окружности.