"Физика (базовый уровень)", Мякишев Г.Я., Петрова М.А. и др.
Тело, брошенное под углом к горизонту, движется одновременно по горизонтали и вертикали. Если не учитывать сопротивление воздуха, горизонтальная скорость остаётся постоянной, а вертикальная изменяется под действием силы тяжести. Такое движение помогает находить траекторию, высоту и дальность полёта. Главное — разложить начальную скорость на составляющие и отдельно записать законы движения по двум осям.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Движение тела, брошенного под углом к горизонту, — это движение с начальной скоростью, направленной под углом к горизонтали, при пренебрежении сопротивлением воздуха. В такой модели на тело действует сила тяжести, а другими силами можно пренебречь. Это описание помогает изучать полёт, разделив его на движения по двум направлениям.
Начальная скорость обозначается v₀, а α — угол между её вектором и горизонтом. Скорость раскладывают на горизонтальную составляющую v₀ₓ = v₀ cos α и вертикальную составляющую v₀ᵧ = v₀ sin α. Такое разложение нужно, потому что по каждой оси движение описывается своим уравнением.
Время полёта — время от броска до возвращения тела на высоту броска. Такое определение применимо, если начальная и конечная высоты одинаковы и рассматривается полное движение до приземления. Если тело падает на площадку ниже точки броска, время нужно находить по её высоте, а не по формуле для возвращения на исходный уровень.
Дальность полёта — горизонтальное расстояние от точки броска до точки падения на ту же высоту. Она показывает, насколько далеко переместилось тело по горизонтали за время полёта. Для вычисления дальности нужно знать горизонтальную скорость и продолжительность полёта.
Выберем ось x горизонтально, а ось y — вертикально вверх, с началом в точке броска. По горизонтали сила тяжести не действует, поэтому ускорение равно нулю и скорость v₀ cos α не меняется. По вертикали тело движется с ускорением −g, так как сила тяжести направлена вниз. Значит, два движения можно рассчитывать независимо, а положение тела в каждый момент времени задаётся обеими координатами.
Для горизонтального движения начальная координата равна нулю, а скорость постоянна, поэтому x = v₀ cos α · t. Вертикально тело сначала движется со скоростью v₀ sin α, но эта скорость постепенно уменьшается под действием ускорения свободного падения. Поэтому y = v₀ sin α · t − gt²/2. Вместе эти уравнения дают координаты тела в любой момент полёта.
Чтобы получить уравнение траектории, выразим время из горизонтального уравнения: t = x/(v₀ cos α). Подставив это выражение в уравнение для y, получим y = x tg α − gx²/(2v₀² cos² α). Здесь y зависит от x линейно и квадратично, а такая зависимость задаёт параболу. Поэтому в принятой модели тело летит по параболической траектории.
При возвращении на исходную высоту вертикальная координата снова равна нулю: v₀ sin α · t − gt²/2 = 0. Помимо начального момента t = 0, решение даёт время полёта T = 2v₀ sin α/g; подстановка его в горизонтальное уравнение даёт дальность L = v₀² sin 2α/g. Оба результата зависят от начальной скорости и угла броска, а формулы требуют одинаковой высоты старта и приземления. Если высоты различаются, следует использовать соответствующую координату приземления.
В верхней точке траектории тело перестаёт подниматься, но продолжает двигаться по горизонтали. В этот момент вертикальная составляющая скорости становится равной нулю: vᵧ = v₀ sin α − gt = 0. Затем вертикальная скорость меняет направление и тело начинает опускаться. Горизонтальная составляющая при этом не исчезает.
| Характеристика | Горизонтальное движение | Вертикальное движение |
|---|---|---|
| Начальная составляющая скорости | v₀ cos α | v₀ sin α |
| Ускорение | 0 | −g, если ось направлена вверх |
| Закон изменения координаты | x = v₀ cos α · t | y = v₀ sin α · t − gt²/2 |
| Изменение скорости | Не меняется | vᵧ = v₀ sin α − gt |
| Условие при возвращении на исходную высоту | x = L | y = 0 |
Сначала определите, по какой оси требуется найти координату или скорость, затем выберите соответствующий столбец. В вертикальных формулах учитывайте, что ось направлена вверх, поэтому ускорение записано со знаком минус. Условие y = 0 относится к моменту возвращения на высоту броска.
Тело брошено горизонтально со скоростью 10 м/с с высоты 20 м. Найдите время падения и дальность полёта; сопротивлением воздуха пренебречь. По вертикали начальная скорость равна нулю, а по горизонтали скорость всё время остаётся равной 10 м/с. Возьмём g ≈ 10 м/с².
Ответ: время падения — 2 с, дальность полёта — 20 м. Вначале нашли время по вертикальному движению, поскольку именно оно определяет момент удара о землю. Затем это же время использовали для горизонтального движения.
Тело брошено со скоростью 20 м/с под углом 30° к горизонту и приземляется на уровне броска. Найдём время полёта и дальность, приняв g ≈ 10 м/с². Для вертикального движения нужна составляющая v₀ sin 30°, а для горизонтального — v₀ cos 30°. Сначала используем условие y = 0 для приземления.
Ответ: время полёта — 2 с, дальность — примерно 34,6 м. Решение уравнения y = 0 также даёт t = 0, но это момент броска, поэтому для времени полёта берём второй корень. Для дальности применяем только горизонтальную составляющую скорости.
Тело брошено с начальной скоростью 25 м/с. Определим угол, при котором дальность на уровне броска максимальна, и найдём эту дальность. Используем формулу L = v₀² sin 2α/g, применимую при одинаковой высоте броска и приземления. При заданной скорости меняется только множитель sin 2α.
Ответ: угол броска — 45°, максимальная дальность — 62,5 м. Угол 45° получается не из правила для любого полёта, а из формулы для приземления на исходную высоту без сопротивления воздуха. При другой высоте приземления вывод может быть иным.
Ошибка — считать, что сила тяжести уменьшает горизонтальную скорость. Её допускают, потому что тело падает и кажется, будто замедляется во всех направлениях; однако сила тяжести направлена вертикально, а сопротивление воздуха исключено. Проверка: разложите ускорение по осям — горизонтальная составляющая равна нулю, значит, vₓ постоянно.
Ошибка — подставлять полную скорость v₀ вместо нужной составляющей. Это происходит, если забыть, что скорость направлена под углом; тогда в горизонтальном или вертикальном уравнении оказывается неверное значение. Проверка: запишите сначала v₀ₓ = v₀ cos α и v₀ᵧ = v₀ sin α, а затем сверяйте с выбранной осью.
Ошибка — считать ускорение отрицательным при любом выборе осей. Знак зависит от направления положительной оси: при направлении вверх ускорение равно −g, а при направлении вниз — +g. Проверка: изобразите ось и стрелку ускорения, затем определите знак проекции, не меняя его произвольно в ходе решения.
Ошибка — использовать время T = 2v₀ sin α/g, если тело приземляется не на исходную высоту. Формула получена из условия возвращения к y = 0, поэтому при другой высоте она не описывает момент приземления. Проверка: сравните начальную и конечную высоты; если они различны, подставьте высоту приземления в уравнение y = v₀ sin α · t − gt²/2.
Для этой темы нужны разложение вектора на составляющие, законы равномерного и равноускоренного движения и представление о свободном падении. Эти знания позволяют независимо описывать движение по горизонтали и вертикали. При дальнейшем изучении движения в поле тяжести такой способ помогает анализировать высоту, время и дальность полёта. Если учитывать сопротивление среды, горизонтальная скорость тоже меняется и простая модель перестаёт быть точной.
Почему траектория тела, брошенного под углом, является параболой?
По горизонтали координата растёт пропорционально времени, а по вертикали меняется по квадратичному закону из-за ускорения свободного падения. Если исключить время из этих уравнений, получится зависимость y от x с членом x² — уравнение параболы.
Почему горизонтальная скорость не меняется, если тело падает?
При пренебрежении сопротивлением воздуха на тело действует только сила тяжести, направленная вертикально вниз. Поэтому горизонтальное ускорение равно нулю, а горизонтальная составляющая скорости остаётся постоянной.
Как найти время полёта, если тело приземляется ниже точки броска?
Нужно выбрать начало координат в точке броска и записать вертикальную координату y = v₀ sin α · t − gt²/2. Для высоты приземления h ниже точки броска положить y = −h и решить полученное квадратное уравнение, выбрав положительный корень.
При каком угле броска дальность наибольшая?
Если тело приземляется на той же высоте, с которой было брошено, и сопротивлением воздуха можно пренебречь, дальность максимальна при угле 45°. Это следует из формулы дальности: при заданной скорости нужно максимизировать sin 2α.
Как изменится движение, если учитывать сопротивление воздуха?
Сопротивление воздуха направлено против скорости и замедляет тело, поэтому горизонтальная скорость уже не остаётся постоянной. Траектория перестаёт быть точной параболой, а дальность и высота обычно уменьшаются.
§ 9. Движение тела, брошенного под углом к горизонту
