§ 67. Электрическая ёмкость. Плоский конденсатор. Соединение конденсаторов

Определения и обозначения

Электрическая ёмкость проводника — отношение его заряда q к потенциалу φ: C = q/φ. Потенциал отсчитывают относительно выбранного нулевого уровня, а ёмкость C показывает, какой заряд соответствует единице потенциала. Она зависит от размеров и формы проводника, а также от окружающей среды, поэтому позволяет сравнивать способность разных проводников накапливать заряд.

Конденсатор — система из двух проводников, разделённых диэлектриком, то есть веществом, которое плохо проводит электрический ток. Проводники называют обкладками; конденсатор предназначен для накопления зарядов и энергии электрического поля. Такое устройство удобно использовать там, где требуется создать и поддерживать электрическое поле.

Электроёмкость конденсатора — отношение модуля заряда q одной обкладки к напряжению U между обкладками: C = q/U. Заряды обкладок равны по модулю и противоположны по знаку, поэтому в формулу подставляют заряд только одной из них. Единица ёмкости в СИ — фарад (Ф): 1 Ф = 1 Кл/В.

Плоский конденсатор — две параллельные плоские обкладки площадью S, разделённые слоем диэлектрика толщиной d. Эта модель помогает выяснить, как геометрия и материал обкладок влияют на ёмкость. В формулах S измеряют в квадратных метрах, d — в метрах.

Как это устроено

Если зарядить проводник, его потенциал изменится: чем больше заряд при неизменных форме и окружении, тем сильнее электрическое поле и тем выше потенциал. Для данного проводника связь заряда с потенциалом пропорциональна, поэтому отношение q/φ постоянно. Этот коэффициент и называют ёмкостью: при большей ёмкости проводник может получить больший заряд при том же потенциале.

Конденсатор получают, если расположить два проводника близко и сообщить им равные по модулю заряды противоположных знаков. Их поля складываются в пространстве между обкладками, а снаружи в значительной степени компенсируются. Между обкладками возникает разность потенциалов — напряжение U, связанное с зарядом q. Диэлектрик не даёт зарядам свободно перейти с одной обкладки на другую.

У плоского конденсатора большая площадь обкладок позволяет разместить больше заряда: при том же напряжении ёмкость увеличивается. Если обкладки раздвинуть, поле между ними при данном заряде создаёт большую разность потенциалов. Тогда отношение q/U становится меньше. Поэтому ёмкость растёт с площадью S и убывает с расстоянием d.

Диэлектрик поляризуется в электрическом поле: его связанные заряды создают поле, направленное против поля обкладок. В результате напряжение при том же заряде уменьшается, а отношение q/U увеличивается. Для плоского конденсатора ёмкость вычисляют по формуле C = ε₀εS/d, где ε₀ — электрическая постоянная, а ε — относительная диэлектрическая проницаемость вещества. Для воздуха ε близка к единице.

При последовательном соединении конденсаторы включают один за другим, поэтому через каждый проходит одинаковый по модулю заряд: q₁ = q₂. Напряжение источника распределяется между ними, и Uобщ = U₁ + U₂. При параллельном соединении одноимённые обкладки соединены вместе, поэтому напряжение на каждом одинаково, а общий заряд равен сумме зарядов отдельных конденсаторов.

Свойства соединений конденсаторов

Сначала определите, как соединены обкладки: это задаёт равенство для напряжений или зарядов. Затем выберите формулу общей ёмкости и только после этого рассчитывайте неизвестные величины. Для последовательного соединения полезно проверить, что общая ёмкость меньше каждой отдельной, а для параллельного — что она больше каждой из них.

Разбор задач

Задача 1. Проводнику сообщили заряд 6 мкКл, его потенциал относительно выбранного нулевого уровня равен 300 В. Найдите электроёмкость. Нужно использовать отношение заряда к потенциалу, предварительно переведя заряд в кулоны.

1. Записываем формулу: C = q/φ.
2. Переводим заряд в СИ: q = 6 мкКл = 6 · 10⁻⁶ Кл.
3. Подставляем данные: C = (6 · 10⁻⁶ Кл)/(300 В) = 2 · 10⁻⁸ Ф.

Ответ: C = 2 · 10⁻⁸ Ф = 20 нФ. Получилась ёмкость проводника, а не его заряд: это отношение заряда к потенциалу.

Задача 2. Площадь обкладок плоского конденсатора равна 100 см², расстояние между ними — 1 мм, внутри воздух. Требуется найти ёмкость. Поскольку формула рассчитана на единицы СИ, сначала переводим площадь и расстояние в квадратные метры и метры.

1. Переводим величины: S = 100 см² = 0,01 м²; d = 1 мм = 0,001 м.
2. Для воздуха принимаем ε ≈ 1 и используем C = ε₀εS/d, где ε₀ ≈ 8,85 · 10⁻¹² Ф/м.
3. Подставляем: C = 8,85 · 10⁻¹² · 0,01/0,001 = 8,85 · 10⁻¹¹ Ф.

Ответ: C ≈ 8,85 · 10⁻¹¹ Ф, или 88,5 пФ. Проверка единиц площади особенно важна: если оставить сантиметры, результат будет неверным.

Задача 3. Конденсаторы 3 мкФ и 6 мкФ подключены последовательно к источнику 12 В. Найдём общую ёмкость, заряды и напряжения. Порядок решения такой: сначала эквивалентная ёмкость, затем общий заряд, одинаковый для конденсаторов, и напряжения на каждом.

1. Для последовательного соединения 1/Cобщ = 1/3 + 1/6 = 1/2 (мкФ)⁻¹, значит Cобщ = 2 мкФ.
2. Общий заряд q = CобщUобщ = 2 мкФ · 12 В = 24 мкКл. Поэтому q₁ = q₂ = 24 мкКл.
3. На первом конденсаторе U₁ = q₁/C₁ = 24/3 = 8 В, на втором U₂ = q₂/C₂ = 24/6 = 4 В.

Ответ: Cобщ = 2 мкФ, q₁ = q₂ = 24 мкКл, U₁ = 8 В, U₂ = 4 В. Проверка: напряжения в сумме дают напряжение источника, 8 В + 4 В = 12 В.

Типичные ошибки

Ёмкость путают с зарядом, потому что обе величины описывают свойства электрического устройства. Но заряд измеряется в кулонах, а ёмкость — в фарадах и характеризует отношение заряда к потенциалу или напряжению. Проверяйте, какую именно величину спрашивают, и смотрите на единицы измерения.

В формулу C = q/U иногда подставляют суммарный заряд обеих обкладок. Это неверно: заряды обкладок равны по модулю, но имеют противоположные знаки, а q в формуле — модуль заряда одной обкладки. Перед подстановкой подпишите заряды: +q и −q.

При последовательном соединении ошибочно складывают ёмкости напрямую. Такая формула относится к параллельному соединению; для последовательного складывают обратные ёмкости: 1/Cобщ = 1/C₁ + 1/C₂ + … . Проверка помогает заметить ошибку: последовательная общая ёмкость должна быть меньше наименьшей ёмкости в цепи.

При работе с единицами могут забыть, что 1 мкФ = 10⁻⁶ Ф, или оставить площадь в квадратных сантиметрах. Формула C = ε₀εS/d требует согласованных единиц СИ: S в м², d в м. Перед вычислением выпишите переведённые значения и проверьте, что в ответе получились фарады.

Связь с другими темами

Для понимания ёмкости нужны представления об электрическом заряде, потенциале, напряжении и электрическом поле. Потенциал помогает описать состояние одной точки поля, а напряжение — разность потенциалов между обкладками. Знание формул работы электрического поля помогает связать перенос заряда с изменением энергии.

Конденсаторы применяют в задачах об энергии электрического поля: заряженное устройство хранит энергию, которую можно выразить через его ёмкость и напряжение. Правила соединения позволяют находить эквивалентную ёмкость группы элементов. Это упрощает расчёт электрических цепей, когда несколько конденсаторов заменяют одним.

Что запомнить

• Ёмкость проводника определяется отношением его заряда к потенциалу.
• Ёмкость конденсатора C = q/U, где q — модуль заряда одной обкладки.
• Единица ёмкости в СИ — фарад.
• Ёмкость плоского конденсатора C = ε₀εS/d.
• При параллельном соединении напряжения на конденсаторах одинаковы, а ёмкости складываются.
• При последовательном соединении заряды конденсаторов одинаковы, а складываются обратные ёмкости.