§ 68. Энергия электрического поля

Определения и обозначения

Энергия электрического поля — энергия, запасённая в электрическом поле и способная совершать работу. Она показывает, какой запас работы связан с созданным распределением зарядов. Это понятие нужно, чтобы описывать превращение энергии поля в другие виды энергии.

Энергия заряженного конденсатора — энергия электрического поля между обкладками конденсатора. Конденсатор накапливает заряд, а вместе с ним — энергию. Поэтому его можно использовать как кратковременный источник энергии.

Плотность энергии электрического поля — энергия, приходящаяся на единицу объёма поля. Её обозначают буквой w и измеряют в Дж/м³. Эта величина позволяет сравнивать энергетический запас участков поля разного размера.

Ёмкость конденсатора — величина, связывающая заряд конденсатора с напряжением между его обкладками: q = CU. Ёмкость показывает, какой заряд накапливается при напряжении 1 В. Её измеряют в фарадах, а заряд — в кулонах.

Как это устроено

При зарядке конденсатора источник перемещает заряды с одной обкладки на другую. Сначала напряжение между обкладками почти равно нулю, поэтому перенос небольшой порции заряда требует малой работы. По мере накопления заряда поле усиливается, а напряжение увеличивается до конечного значения U.

Работа источника равна энергии, переданной конденсатору. Нельзя просто умножить весь заряд q на конечное напряжение U, потому что это напряжение действовало только в конце зарядки. При равномерном росте напряжения среднее значение равно U/2, поэтому W = qU/2.

Связь q = CU позволяет записать одну и ту же энергию по-разному. Если заменить q в формуле W = qU/2 на CU, получится W = CU²/2. Если вместо U использовать q/C, получится W = q²/(2C), поэтому выбор формулы зависит от известных в задаче величин.

Энергия связана не только с обкладками: заряды создают электрическое поле, а именно поле обладает способностью совершать работу. При разрядке поле исчезает или ослабевает, и его энергия переходит, например, во внутреннюю энергию проводника, свет или механическую работу. Поэтому корректно говорить об энергии электрического поля конденсатора.

Для однородного поля плотность энергии выражается через напряжённость: w = εε₀E²/2. Если поле занимает объём V, его полная энергия равна W = wV. Чем сильнее поле, тем больше энергия: при увеличении E в два раза плотность энергии возрастает в четыре раза.

Энергия электрического поля: основные величины и формулы

Сначала выпишите, какие величины даны в условии, и выберите формулу с ними. Перед подстановкой переведите микрофарады, микрокулоны и киловольты в единицы СИ. Если известны другие величины, можно сначала найти недостающую через q = CU.

Разбор задач

Задача 1

Условие: конденсатор ёмкостью 20 мкФ подключён к напряжению 100 В. Найдите энергию его электрического поля. Известны C и U, поэтому сразу подходит формула W = CU²/2.

1. Переведём ёмкость: C = 20 мкФ = 20 · 10⁻⁶ Ф.
2. Подставим данные: W = 20 · 10⁻⁶ · 100²/2 = 0,1 Дж.

Ответ: энергия поля равна 0,1 Дж.

Задача 2

Условие: энергия конденсатора W = 0,18 Дж, ёмкость C = 40 мкФ. Требуется найти напряжение и заряд. Сначала найдём U из формулы с квадратом напряжения, затем применим связь q = CU.

1. Переведём ёмкость: C = 40 · 10⁻⁶ Ф.
2. Из W = CU²/2 получаем U = √(2W/C) = √(0,36/(40 · 10⁻⁶)) ≈ 94,9 В.
3. Найдём заряд: q = CU = 40 · 10⁻⁶ · 94,9 ≈ 3,8 · 10⁻³ Кл.

Ответ: U ≈ 94,9 В, q ≈ 3,8 мКл.

Задача 3

Условие: плоский конденсатор с диэлектриком имеет площадь пластин S, расстояние между ними d и напряжённость поля E. Нужно получить энергию поля и её плотность. Используем C = εε₀S/d и U = Ed.

1. Подставим эти выражения в W = CU²/2: W = (εε₀S/d) · (Ed)²/2.
2. После упрощения получаем W = εε₀E²Sd/2.
3. Объём поля между пластинами V = Sd, поэтому w = W/V = εε₀E²/2.

Ответ: W = εε₀E²Sd/2, а плотность энергии w = εε₀E²/2.

Типичные ошибки

Формулу W = CU² используют без множителя 1/2. Так поступают, считая конечное напряжение постоянным при всей зарядке, хотя оно растёт от нуля до U. Проверьте вывод: при изменяющемся напряжении должно учитываться среднее значение U/2.

Формулы W = qU/2 и W = qU путают между собой. Причина та же: конечное напряжение ошибочно принимают за напряжение на всём пути переноса заряда. Если зарядка начинается с нулевого напряжения, множитель 1/2 обязателен.

Микрофарады, микрокулоны или киловольты подставляют без перевода в СИ. Из-за этого ответ отличается от правильного в 10⁶, 10⁻⁶ или 10³ раз. Перед вычислением замените мкФ на 10⁻⁶ Ф, мкКл на 10⁻⁶ Кл, кВ на 10³ В.

Считают, что энергия находится только на обкладках. Обкладки действительно несут заряды, но запас энергии связан с полем между ними. Проверить себя можно по формуле плотности: она описывает энергию объёма поля, а не материала пластин.

Связь с другими темами

Для понимания параграфа нужны работа электрического поля, потенциал и напряжение, заряд конденсатора, электроёмкость и связь q = CU. Эти понятия объясняют, почему зарядка требует работы и как измеряется запас энергии.

Тема продолжает изучение энергии электромагнитного поля и применяется при рассмотрении колебательного контура. Она также нужна для анализа конденсаторов и электрических устройств, которые накапливают энергию.

Что запомнить

• Энергия заряженного конденсатора — это энергия его электрического поля.
• При зарядке конденсатора напряжение изменяется от нуля до конечного значения.
• W = qU/2.
• W = CU²/2.
• W = q²/(2C).
• Плотность энергии однородного поля w = εε₀E²/2.
• Энергия электрического поля пропорциональна квадрату напряжённости поля.