§15. Закон сохранения механической энергии  

Определения и обозначения

Кинетическая энергия — энергия движения тела: E_кин = mv²/2. Она показывает, какую работу тело может совершить благодаря своей скорости. Чем больше масса и скорость, тем больше энергия, причём скорость входит в формулу в квадрате.

Потенциальная энергия — энергия взаимодействия тел, зависящая от их взаимного положения. Например, у тела на высоте h над выбранным уровнем E_пот = mgh. Нулевой уровень выбирают так, чтобы удобно отсчитывать высоты; важны не отдельные значения, а их разность.

Механическая энергия системы — сумма кинетической и потенциальной энергий: E_мех = E_кин + E_пот. Она учитывает и движение тел, и их положение или деформацию. Это позволяет описывать превращение одного вида энергии в другой одной общей величиной.

Закон сохранения механической энергии утверждает: если работу совершают только консервативные силы, сумма кинетической и потенциальной энергий не изменяется. Для двух состояний E_кин1 + E_пот1 = E_кин2 + E_пот2. Закон нужен, чтобы находить неизвестную скорость, высоту или деформацию, не вычисляя время движения.

Как это устроено

Когда тело движется под действием силы тяжести, сила совершает работу и изменяет кинетическую энергию тела. По теореме о кинетической энергии эта работа равна изменению E_кин. Одновременно меняется положение тела, поэтому изменяется и его потенциальная энергия: при падении она уменьшается, а при подъёме возрастает.

Сила упругости действует похожим образом, когда пружина растягивается или сжимается. Работа этой силы связана с изменением энергии пружины E_упр = kx²/2. Если пружина разжимается, её потенциальная энергия уменьшается и передаётся движущемуся телу; при сжатии часть кинетической энергии запасается в деформации.

Консервативной называют силу, работа которой определяется только начальным и конечным положениями тела, а не формой пути. К таким силам относят силу тяжести и силу упругости. Поэтому уменьшение потенциальной энергии системы равно увеличению кинетической, а увеличение потенциальной энергии означает такое же уменьшение кинетической.

Для начального и конечного состояний записывают одну общую сумму: E_кин1 + E_пот1 = E_кин2 + E_пот2. Сначала нужно выбрать систему, нулевой уровень и перечислить виды энергии в каждом состоянии. Затем известные величины подставляют в уравнение и находят неизвестную.

При падении тела с высоты h без начальной скорости в начале есть потенциальная энергия mgh, а кинетическая энергия равна нулю. Непосредственно перед землёй потенциальную энергию можно считать нулевой, зато E_кин = mv²/2. Равенство mgh = mv²/2 показывает, что энергия не исчезла, а перешла в движение; при трении часть её превращалась бы во внутреннюю энергию.

Энергии в механической системе

Таблица помогает быстро выбрать нужную формулу после описания начального и конечного состояний. В каждой строке проверьте, какие величины известны и в каких единицах они заданы. Если в состоянии есть несколько видов энергии, их складывают.

Разбор задач

1. Падение тела

Тело массой 2 кг падает с высоты 5 м без начальной скорости. Сопротивлением воздуха пренебрегаем, поэтому механическая энергия сохраняется. Требуется найти скорость непосредственно перед ударом, приняв g = 9,8 м/с².

1. В начале E_кин1 = 0, E_пот1 = mgh.
2. Перед ударом выбираем уровень земли нулевым: E_пот2 = 0, E_кин2 = mv²/2.
3. По закону сохранения mgh = mv²/2, откуда v = √(2gh) = √(2 · 9,8 · 5) ≈ 9,9 м/с.

Ответ: скорость тела перед ударом примерно 9,9 м/с. Масса сократилась, поэтому на результат в этой задаче она не влияет.

2. Бросок вертикально вверх

Тело бросили вверх со скоростью 12 м/с. Сопротивление воздуха не учитываем, а нулевой уровень потенциальной энергии выбираем в точке броска. Нужно определить максимальную высоту, где скорость тела становится равной нулю.

1. В начальном состоянии E_кин1 = mv²/2, E_пот1 = 0.
2. В верхней точке E_кин2 = 0, E_пот2 = mgh.
3. Из равенства mv²/2 = mgh получаем h = v²/(2g) = 12²/(2 · 9,8) ≈ 7,35 м.

Ответ: максимальная высота подъёма составляет примерно 7,3 м. В верхней точке вся начальная кинетическая энергия перешла в потенциальную.

3. Сжатие вертикальной пружины

Груз массой 0,5 кг соскальзывает без трения с высоты 1,8 м и сжимает вертикальную пружину жёсткостью 400 Н/м. Считаем, что высота отсчитана от несжатой пружины, поэтому при сжатии на x груз опускается ещё на x. Требуется найти максимальное сжатие, приняв g = 10 м/с².

1. В начале энергия равна mgh, а скорость и энергия пружины равны нулю.
2. При максимальном сжатии скорость груза равна нулю, поэтому m g(h + x) = kx²/2.
3. Подставляем числа: 0,5 · 10(1,8 + x) = 400x²/2, то есть 200x² − 5x − 9 = 0.
4. Положительный корень равен x ≈ 0,22 м; отрицательный корень физического смысла не имеет.

Ответ: пружина сжимается примерно на 0,22 м. В расчёте учтено, что во время сжатия груз продолжает опускаться, поэтому уменьшается и гравитационная потенциальная энергия.

Типичные ошибки

Считать, что механическая энергия сохраняется при любых силах. Трение и сопротивление воздуха неконсервативны, поэтому их работа уменьшает механическую энергию. Проверьте, перечислены ли в условии такие силы и можно ли ими пренебречь.

Приравнивать начальную кинетическую энергию конечной потенциальной без проверки. В состояниях могут одновременно присутствовать несколько видов энергии. Запишите полные суммы слева и справа, а уже потом сокращайте нулевые слагаемые.

Забывать изменение высоты при сжатии вертикальной пружины. Пока пружина сжимается, груз перемещается вниз, поэтому меняется и энергия mgh. Проверьте, от какого положения отсчитана высота и входит ли дополнительное перемещение x в уравнение.

Считать потенциальную энергию абсолютной. Её значение определяется относительно выбранного нулевого уровня, который можно назначить удобно. Для проверки используйте один и тот же уровень во всех состояниях задачи.

Связь с другими темами

Для применения закона нужны формулы кинетической энергии, потенциальной энергии в поле тяжести и энергии упругой деформации. Также используется теорема о кинетической энергии, связывающая работу силы с изменением скорости тела. Эти знания помогают понять, откуда берётся каждое слагаемое в уравнении.

Закон сохранения энергии применяют в задачах о движении тел, падении и бросках, а также при изучении колебаний пружинного маятника. Он позволяет исследовать превращения энергии даже тогда, когда находить время движения неудобно. При наличии трения закон дополняют учётом внутренней энергии.

Что запомнить

• Механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий.
• Кинетическая энергия зависит от массы и квадрата скорости.
• Потенциальная энергия зависит от положения тел или деформации тела.
• При действии только консервативных сил полная механическая энергия сохраняется.
• Переход потенциальной энергии в кинетическую не означает исчезновения энергии.
• Трение и сопротивление могут превращать механическую энергию во внутреннюю.