"Физика (базовый уровень)", Пурышева Н.С., Важеевская Н.Е., Исаев Д.А.; под ред. Пурышевой Н.С.
Небесная механика объясняет, как планеты, спутники и другие небесные тела движутся под действием тяготения. Наблюдая за планетами, Иоганн Кеплер установил три закономерности: форму их орбит, изменение скорости на разных участках пути и связь размера орбиты с периодом обращения. Эти законы помогают описывать движение тел и рассчитывать орбиты. Их физический смысл раскрывается через закон всемирного тяготения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Небесная механика — раздел астрономии, изучающий движение небесных тел под действием сил тяготения. Она помогает описывать и предсказывать движение планет, спутников и других объектов. Её выводы используют, например, при расчёте космических орбит.
Орбита — траектория движения небесного тела вокруг другого тела; по первому закону Кеплера планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Фокус — особая точка внутри эллипса, не обязательно совпадающая с его центром. Понимание формы орбиты нужно, чтобы описать, как меняется расстояние планеты до Солнца.
Большая полуось орбиты — половина наибольшего диаметра эллипса. Её обычно обозначают буквой a, и она характеризует размер орбиты. Эта величина нужна, в частности, для сравнения орбит и применения третьего закона Кеплера.
Период обращения — время, за которое небесное тело совершает один полный оборот по орбите; его часто обозначают T. Например, период обращения Земли вокруг Солнца составляет примерно один год. Сравнение периодов позволяет судить о размерах орбит планет.
Астрономы долго наблюдали за положениями планет на небе и обнаруживали, что их движение не описывается простым равномерным вращением по окружностям. Чтобы точнее объяснить наблюдения, Кеплер искал закономерности, общие для планет, обращающихся вокруг Солнца. Так появились законы, связывающие форму орбит, скорость планет и время их обращения. Это были обобщения наблюдений, а не описание причин движения.
Первый закон Кеплера утверждает: планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце. Окружность — частный случай эллипса, у которого фокусы совпадают, поэтому планетная орбита может быть почти круговой. Но нельзя заранее считать, что Солнце расположено в центре: у вытянутого эллипса фокус смещён относительно центра. Такая форма объясняет, почему расстояние от планеты до Солнца меняется.
Второй закон Кеплера говорит, что радиус-вектор — отрезок от Солнца к планете — за равные промежутки времени заметает равные площади. Это не означает, что планета движется с постоянной скоростью: площадь зависит и от длины радиус-вектора, и от того, насколько далеко переместилась планета. Когда она ближе к Солнцу, радиус-вектор короче, поэтому для заметания той же площади планета проходит больший участок орбиты. Вдали от Солнца она движется медленнее.
Третий закон Кеплера связывает период обращения T и большую полуось a: квадраты периодов планет относятся как кубы больших полуосей, то есть T₁²/T₂² = a₁³/a₂³. Для тел, обращающихся вокруг одного и того же центрального тела, отношение T²/a³ одинаково. Поэтому, зная период планеты, можно сравнить размер её орбиты с земной. Для разных центральных тел постоянное отношение будет различным.
Законы Кеплера описывают, как движутся планеты, а закон всемирного тяготения объясняет, почему движение происходит именно так. Солнце притягивает планеты, а их движение вперёд не даёт им упасть на него по прямой. Гравитационное притяжение постоянно меняет направление скорости и удерживает планету на орбите. Расчёты, основанные на законе тяготения, позволяют получить закономерности, согласующиеся с законами Кеплера.
| Закон | Формулировка | Следствие для движения планеты |
|---|---|---|
| Первый закон: форма орбиты и положение Солнца | Орбита планеты — эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце. | Расстояние до Солнца меняется; окружность возможна как частный случай. |
| Второй закон: площади, заметённые радиусом-вектором за равные промежутки времени | За равные промежутки времени радиус-вектор заметает равные площади. | Планета движется быстрее вблизи Солнца и медленнее вдали от него. |
| Третий закон: связь периода обращения и большой полуоси орбиты | Квадраты периодов относятся как кубы больших полуосей: T₁²/T₂² = a₁³/a₂³. | Для тел вокруг одного центра T²/a³ одинаково; по периоду можно сравнить размеры орбит. |
Сначала определите, какое именно свойство нужно найти: форму орбиты, изменение скорости или связь периода с её размером. Затем выберите соответствующий закон и проверьте, что сравниваемые тела обращаются вокруг одного центрального тела. В задачах на третий закон важно возводить периоды в квадрат, а большие полуоси — в куб.
Задача 1. Период обращения планеты вокруг Солнца в 8 раз больше периода обращения Земли. Во сколько раз её большая полуось орбиты больше земной? Сравниваются две планеты вокруг одного центрального тела, поэтому применим третий закон Кеплера. Обозначим периоды Tₚ и Tз, а большие полуоси aₚ и aз.
Ответ: большая полуось орбиты планеты в 4 раза больше земной. Корень нужен потому, что в законе отношение полуосей стоит в третьей степени. Проверка: 4³ = 64, что равно квадрату отношения периодов.
Задача 2. Планета движется по эллиптической орбите. Сравните её скорости в ближайшей к Солнцу и наиболее удалённой от него точках. Числовых данных нет, поэтому применим качественно второй закон Кеплера. В этих крайних точках планета движется по орбите почти поперёк направления радиус-вектора.
Ответ: в ближайшей к Солнцу точке планета движется быстрее, чем в наиболее удалённой. Это не означает, что её скорость постоянна на остальной части орбиты. Вывод следует из равенства заметённых площадей за равные промежутки времени.
Задача 3. Спутник обращается вокруг планеты по круговой орбите радиусом r. Найдите период, если масса планеты равна M. Радиус здесь измеряется от центра планеты, а не от её поверхности. Пусть m — масса спутника, а G — гравитационная постоянная.
Ответ: T = 2π√(r³/GM). Масса спутника сократилась, поэтому при одинаковом радиусе период не зависит от неё. Если задана высота h над поверхностью планеты радиусом R, сначала нужно найти r = R + h.
Ошибка — считать, что планета обязательно движется по окружности, а Солнце находится в её центре. Так думают, потому что многие орбиты выглядят почти круглыми на схеме или в упрощённом описании. Первый закон говорит об эллипсе и одном из его фокусов. Проверьте себя: в формулировке есть ли слово «фокус», а не «центр»?
Ошибка — считать скорость планеты постоянной. Её допускают, смешивая второй закон Кеплера с равномерным движением по окружности. Постоянной за равные промежутки времени остаётся заметённая площадь, а не пройденный путь. Для проверки сравните скорости: ближе к Солнцу она выше, дальше — ниже.
Ошибка — записывать третий закон как T/a³ = const. Вероятно, путают степень периода со степенью большой полуоси, хотя закон связывает именно квадрат периода с кубом полуоси: T²/a³ = const. Проверьте формулу по отношению двух планет: T₁²/T₂² должно равняться a₁³/a₂³.
Ошибка — применять одну и ту же постоянную T²/a³ к телам вокруг разных центральных тел. Такое сравнение кажется удобным, но постоянная зависит от массы центра. Третий закон без этой поправки используют для тел, обращающихся вокруг одного и того же тела. Перед расчётом убедитесь, что оба спутника вращаются вокруг одной планеты или обе планеты — вокруг одного Солнца.
Для изучения небесной механики нужны закон всемирного тяготения, движение по окружности, период и центростремительное ускорение. Эти понятия позволяют перейти от описания орбиты к объяснению того, какая сила вызывает движение и как она связана со скоростью тела.
Законы небесной механики применяют при расчёте орбит планет и искусственных спутников, а также межпланетных аппаратов. По ним можно оценивать период обращения и сравнивать размеры орбит, если известны необходимые данные.
Связь законов Кеплера с законом всемирного тяготения показывает, как наблюдаемые закономерности получают физическое объяснение. Тяготение действует не только на небесные тела: те же законы физики применимы к движению тел на Земле и в космосе.
Почему планеты не падают на Солнце, если притягиваются к нему?
Солнце притягивает планету и меняет направление её скорости, удерживая её на орбите. При этом у планеты есть скорость, направленная вдоль орбиты: она всё время как бы «падает» к Солнцу, но успевает двигаться в сторону. Поэтому вместо столкновения получается орбитальное движение.
Обязательно ли орбита планеты является заметно вытянутым эллипсом?
Нет. Эллипс может быть почти окружностью, если его фокусы расположены близко друг к другу. Закон Кеплера говорит, что орбита является эллипсом, но не устанавливает, насколько сильно он вытянут.
Почему планета движется быстрее, когда находится ближе к Солнцу?
По второму закону Кеплера за равные промежутки времени радиус-вектор планеты заметает равные площади. Ближе к Солнцу радиус-вектор короче, поэтому для заметания такой же площади планете нужно пройти больший участок орбиты за то же время. Значит, её скорость там выше.
Как по периоду обращения планеты сравнить размеры её орбиты с земной?
Для планет, обращающихся вокруг Солнца, действует T²/a³ = const, где T — период, а a — большая полуось орбиты. Поэтому отношение больших полуосей можно найти по формуле a₁/a₂ = (T₁/T₂)²ᐟ³. Например, если период планеты в восемь раз больше земного, её большая полуось в четыре раза больше земной.
Почему третий закон Кеплера нельзя без поправок применять к телам вокруг разных центральных тел?
Значение T²/a³ зависит от массы центрального тела: у массивного тела оно одно, у менее массивного — другое. Поэтому сравнивать периоды и размеры орбит по одной и той же постоянной можно для тел, обращающихся вокруг одного центра. Для разных центров нужно учитывать их массы.
§16. Небесная механика
