"Физика (базовый уровень)", Пурышева Н.С., Важеевская Н.Е., Исаев Д.А.; под ред. Пурышевой Н.С.
Баллистика описывает движение тела после броска, когда на него действует только сила тяжести, а сопротивлением воздуха можно пренебречь. Такое движение удобно разбирать на два независимых: равномерное по горизонтали и равноускоренное по вертикали. Разложив начальную скорость на составляющие, можно найти координаты тела, форму его траектории, время полёта и дальность. Эти идеи помогают решать задачи о полёте спортивных снарядов и других тел.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Баллистика — раздел механики, изучающий движение тел, брошенных под углом к горизонту или горизонтально, если сопротивлением воздуха пренебрегают. Иными словами, рассматривается идеализированный полёт, в котором не учитывается влияние воздушных потоков и трения. Это позволяет описывать движение с помощью законов механики и силы тяжести.
Баллистическое движение — движение тела под действием силы тяжести после прекращения контакта с бросающим телом. Например, после того как мяч покинул руку, рука уже не сообщает ему ускорение. Зная это, можно определить, какие силы действуют на тело и как меняются его скорость и координаты.
Траектория — линия, по которой движется тело; при баллистическом движении без сопротивления воздуха это парабола. Форма траектории зависит от начальной скорости и направления броска. Понятие траектории помогает связать координаты тела и предсказать его положение в любой момент.
Дальность полёта — горизонтальное расстояние от точки броска до точки падения тела. Её измеряют вдоль направления, параллельного горизонту, а не по длине дуги траектории. Чтобы найти дальность, сначала нужно выяснить, сколько времени тело летит, а затем определить его горизонтальное перемещение за это время.
Сразу после броска тело уже не соприкасается с рукой или другим предметом, который его разгонял. Если воздух не оказывает заметного сопротивления, единственное ускорение создаёт сила тяжести, направленная вниз. Поэтому горизонтальная составляющая движения не ускоряется, а вертикальная изменяется равномерно; эти два движения можно рассчитывать отдельно, связывая их одним и тем же временем.
Начальная скорость v₀ направлена под углом α к горизонту и представляет собой вектор. Чтобы изучать движение по осям, этот вектор раскладывают на перпендикулярные составляющие: v₀x = v₀ cos α и v₀y = v₀ sin α. Горизонтальная составляющая отвечает за продвижение вперёд, вертикальная — за подъём и последующее падение; при горизонтальном броске α = 0, поэтому v₀y = 0.
Выберем ось x горизонтально, а ось y вертикально вверх; начальные координаты обозначим x₀ и y₀. Тогда x = x₀ + v₀ cos α · t, а y = y₀ + v₀ sin α · t − gt²/2: первая формула описывает равномерное движение, вторая учитывает ускорение вниз. Из первого уравнения можно выразить t и подставить его во второе; зависимость y от x содержит член с x², поэтому траектория является параболой.
Время полёта находят по вертикальному движению, поскольку именно оно определяет, когда тело достигнет высоты точки падения. Если тело приземляется на исходном уровне, вертикальное перемещение равно нулю: уравнение y − y₀ = v₀ sin α · t − gt²/2 даёт ненулевой корень t = 2v₀ sin α/g. После этого дальность определяют по горизонтали: L = v₀ cos α · t; при другой высоте приземления уравнение для времени нужно составить с соответствующим изменением y.
При горизонтальном броске тело начинает падать сразу, потому что его начальная вертикальная скорость равна нулю; время падения зависит от высоты, а дальность — ещё и от горизонтальной скорости. При броске под углом вверх вертикальная составляющая сначала направлена против тяжести, поэтому тело поднимается, замедляясь по вертикали, а затем падает. Время подъёма до вершины равно v₀ sin α/g, максимальная высота над точкой броска — (v₀ sin α)²/(2g); при приземлении на исходном уровне время полёта вдвое больше времени подъёма.
| Характеристика | По горизонтали | По вертикали |
|---|---|---|
| Ускорение | ax = 0 | ay = −g |
| Начальная составляющая скорости | v₀x = v₀ cos α | v₀y = v₀ sin α |
| Скорость в момент времени t | vx = v₀x | vy = v₀y − gt |
| Перемещение за время t | sx = v₀x t | sy = v₀y t − gt²/2 |
| Уравнение координаты | x = x₀ + v₀x t | y = y₀ + v₀y t − gt²/2 |
В таблице знак «−» в вертикальных формулах показывает, что ускорение направлено против выбранного положительного направления оси y. Сначала определите, какая координата или скорость нужна, затем используйте соответствующий столбец. Для связи горизонтального перемещения и вертикального падения подставляйте одно и то же время t.
Тело брошено горизонтально с высоты 20 м со скоростью 10 м/с. Найдём время падения и дальность, пренебрегая сопротивлением воздуха и принимая g = 10 м/с².
Ответ: время падения — 2 с, дальность — 20 м.
Камень брошен со скоростью 20 м/с под углом 30° к горизонту и приземлился на высоте броска. Найдём время полёта и дальность при g = 10 м/с².
Ответ: время полёта — 2 с, дальность — 20√3 м, или около 34,6 м.
Тело брошено со скоростью 25 м/с под углом 37° и приземляется на площадку на 10 м ниже точки броска. Приближённо возьмём sin 37° = 0,6, cos 37° = 0,8 и g = 10 м/с².
Ответ: время полёта — примерно 3,56 с, горизонтальная дальность — примерно 71,2 м.
Ошибка — считать, что скорость всё время постоянна или направлена только вдоль одного участка траектории. Так могут рассуждать, представляя полёт как единое движение по дуге, но тяжесть изменяет вертикальную составляющую скорости. Проверка: отдельно запишите vx = v₀x и vy = v₀y − gt; только первая величина остаётся постоянной.
Иногда начальную скорость приравнивают к горизонтальной или вертикальной составляющей. Это неверно, если бросок направлен под углом: v₀ — длина исходного вектора, а его проекции равны v₀ cos α и v₀ sin α. Чтобы проверить себя, восстановите вектор по составляющим: их квадраты в сумме дают v₀².
В верхней точке траектории ошибочно полагают, что ускорение равно нулю. Путают остановку подъёма с прекращением действия силы тяжести: там vy = 0 лишь на мгновение, а ускорение всё так же равно g и направлено вниз. Проверка проста: если бы ускорение исчезало, вертикальная скорость после вершины не могла бы начать меняться на направленную вниз.
Формулы времени и дальности для приземления на исходную высоту нельзя без изменений применять, когда площадка расположена выше или ниже точки броска. Ошибка возникает, если не учитывать конечную координату y в уравнении вертикального движения. Проверьте условие задачи: запишите разность высот со знаком, найдите физически подходящее положительное время и лишь затем вычисляйте дальность.
Для решения задач на баллистику нужны знания о равномерном и равноускоренном прямолинейном движении, свободном падении и разложении вектора скорости на составляющие. Эти темы объясняют, почему два направления можно описывать разными формулами, но с общим временем. Баллистическое движение, в свою очередь, служит примером применения законов Ньютона и действия силы тяжести. Аналогичные расчёты используют при изучении полёта снарядов и спортивных снарядов.
Парабола показывает траекторию тела, брошенного со скоростью 20 м/с под углом 45° к горизонту при g = 10 м/с². Сопротивление воздуха не учитывается.
Почему траектория брошенного тела является параболой?
По горизонтали координата растёт пропорционально времени, а по вертикали меняется пропорционально квадрату времени. Если исключить время из этих зависимостей, координата y выражается через x квадратично. График такой зависимости — парабола.
Почему горизонтальная скорость не меняется, а вертикальная меняется?
Сопротивлением воздуха пренебрегают, поэтому на тело действует только сила тяжести, направленная вертикально вниз. У горизонтальной составляющей ускорение равно нулю, а вертикальная изменяется под действием ускорения g.
Равна ли нулю скорость тела в верхней точке траектории?
Нет, если тело было брошено под углом, в верхней точке равна нулю только вертикальная составляющая скорости. Горизонтальная составляющая сохраняется, поэтому тело продолжает двигаться вперёд.
Как найти время полёта при горизонтальном броске?
Время находят из вертикального движения: тело падает с высоты h с нулевой начальной вертикальной скоростью. Поэтому h = gt²/2, откуда t = √(2h/g).
Можно ли применять формулы дальности, если тело приземляется ниже точки броска?
Формулу дальности для приземления на исходной высоте применять нельзя: время полёта будет другим. Сначала составьте уравнение вертикального движения с учётом разности высот, выберите положительный физический корень, а затем умножьте время на горизонтальную составляющую скорости.
§17. Баллистика
