§ 12. «Математические начала натуральной философии» Ньютона

Определения и обозначения

«Математические начала натуральной философии» — труд Исаака Ньютона, опубликованный в 1687 году. Ньютон создал его, чтобы описать движение земных и небесных тел едиными законами. Труд стал основой классической механики и связал изучение природы с точными математическими расчётами.

Инерция — свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения при отсутствии внешнего воздействия, изменяющего это состояние. В физике точнее говорят о нулевой равнодействующей сил. Понятие инерции нужно, чтобы понимать: для сохранения скорости постоянная сила не требуется.

Масса — мера инертности тела; обычно её обозначают буквой m и измеряют в килограммах. Чем больше масса, тем труднее изменить скорость тела той же силой. Сила, обозначаемая F и измеряемая в ньютонах, — это воздействие, вызывающее ускорение или деформацию, поэтому масса и сила не являются одним и тем же.

Равнодействующая сил — сила, действие которой на тело равно совместному действию всех приложенных к нему сил. Её находят как векторную сумму сил и обозначают Fравн. Именно равнодействующая определяет ускорение тела, а не любая отдельная сила.

Как это устроено

До Ньютона движение небесных тел и движение предметов на Земле часто рассматривали как разные явления. Ньютон стремился объединить их, потому что природа должна подчиняться общим закономерностям, а не отдельным правилам для каждого случая. Математическая запись позволила сравнивать движения, вычислять их и проверять выводы опытом, поэтому механика превратилась в точную науку.

Первый закон Ньютона уточняет понятие инерции: тело сохраняет покой или равномерное прямолинейное движение, когда равнодействующая всех сил равна нулю. Если тело уже движется, его скорость не меняется ни по модулю, ни по направлению. Изменение скорости появляется только тогда, когда внешнее воздействие нарушает это условие.

Скорость изменяется тем заметнее, чем сильнее равнодействующая и чем меньше масса тела. Поэтому второй закон записывают так: Fравн = ma, где a — ускорение. Из формулы следует a = Fравн/m: ускорение направлено как равнодействующая, а при неизменной силе увеличение массы уменьшает ускорение.

Третий закон описывает взаимодействие двух тел: если первое тело действует на второе, второе одновременно действует на первое. Эти силы равны по модулю и противоположны по направлению, но приложены к разным телам. Поэтому они не уничтожают друг друга при расчёте движения одного тела: каждая сила учитывается у того тела, на которое она действует.

Три закона образуют единую систему: первый задаёт случай нулевой равнодействующей, второй связывает силу с ускорением, а третий объясняет возникновение сил при взаимодействии. С их помощью можно анализировать движение под действием тяжести, трения, упругости и других воздействий. На этой основе решают задачи о телах на поверхности Земли, транспортных средствах, снарядах, планетах и спутниках.

Законы движения Ньютона

В таблице собраны условие каждого закона, его математическая запись и круг явлений, которые он помогает объяснять. При решении задачи сначала определите рассматриваемое тело, затем все силы, действующие на него, и их равнодействующую. После этого выберите подходящий закон или используйте несколько законов сразу.

В записи третьего закона знак «−» показывает противоположные направления сил, а индексы указывают, какое тело на какое действует. Важно не смешивать силы, приложенные к разным телам, в одном уравнении. Таблица помогает быстро выбрать физический закон, но направление сил и выбор тела всё равно нужно анализировать отдельно.

Разбор задач

Задача 1

На тело действуют две противоположно направленные силы 5 Н и 5 Н. Нужно найти равнодействующую и описать движение тела, если сначала оно покоилось. Силы направлены навстречу друг другу, поэтому их модули при сложении вычитаются.

1. Выберем направление первой силы положительным, тогда F₁ = 5 Н, а F₂ = −5 Н.
2. Найдём равнодействующую: Fравн = F₁ + F₂ = 5 Н − 5 Н = 0.
3. По первому закону при нулевой равнодействующей тело сохраняет своё состояние. Так как первоначально оно покоилось, оно останется в покое.

Ответ: Fравн = 0 Н; тело продолжит покоиться. Равные противоположные силы не создают ускорения, хотя каждая из них по отдельности действует на тело.

Задача 2

На тело массой 2 кг действует равнодействующая сила 6 Н. Требуется найти ускорение. Здесь уже известны величины, входящие во второй закон Ньютона.

1. Запишем закон: Fравн = ma.
2. Выразим ускорение: a = Fравн/m.
3. Подставим значения: a = 6 Н / 2 кг = 3 м/с².

Ответ: ускорение тела равно 3 м/с² и направлено так же, как равнодействующая сила. Если направление силы неизвестно, можно определить только модуль ускорения.

Задача 3

Первое тело действует на второе силой 12 Н. Нужно определить силу, с которой второе тело действует на первое, и объяснить, почему силы не уравновешивают друг друга. Это пример непосредственного применения третьего закона Ньютона.

1. По третьему закону модули сил взаимодействия равны, поэтому F₂₁ = 12 Н.
2. Направления противоположны: если первое тело толкает второе вправо, второе толкает первое влево.
3. Силы не складывают в уравнении движения одного тела, потому что первая приложена ко второму телу, а ответная — к первому.

Ответ: второе тело действует на первое силой 12 Н в противоположном направлении. Эти силы не уравновешивают друг друга, так как приложены к разным телам.

Типичные ошибки

Считать, что для равномерного прямолинейного движения обязательно нужна сила в направлении движения, ошибочно. Так думают из-за трения в повседневных наблюдениях: без тяги автомобиль замедляется. Проверка проста: найдите равнодействующую и вспомните, что при Fравн = 0 скорость сохраняется.

Нельзя путать массу и силу. Масса характеризует инертность тела, а сила описывает воздействие и измеряется в ньютонах, тогда как масса измеряется в килограммах. Проверьте себя по единицам и спросите: речь идёт о сопротивлении изменению движения или о причине этого изменения?

Ошибка во втором законе — подставить одну приложенную силу, не найдя равнодействующую. Несколько сил могут частично или полностью компенсировать друг друга, поэтому отдельная сила не всегда определяет ускорение. Сначала изобразите направления всех сил и сложите их как векторы.

Силы действия и противодействия не уравновешивают друг друга в движении одного тела. Их принимают за взаимную компенсацию, потому что модули равны, но забывают о разных точках приложения. Подпишите возле каждой силы тело, на которое она действует: разные тела означают разные уравнения движения.

Связь с другими темами

До изучения законов Ньютона нужны понятия скорости, ускорения, массы, силы и равнодействующей, а также правила сложения векторов. Без них трудно определить направление ускорения и правильно записать формулу.

Законы Ньютона применяются при изучении движения тел под действием силы тяжести, трения и упругости. Они также служат основой решения задач на движение и взаимодействие тел.

Труд Ньютона подготовил основу для закона всемирного тяготения. Благодаря этому механику можно применять к движению планет, естественных тел и искусственных спутников.

Что запомнить

• Три закона Ньютона составляют основу классической механики.
• Первый закон описывает движение тела при нулевой равнодействующей сил.
• Ускорение тела направлено так же, как равнодействующая сила.
• При неизменной силе увеличение массы приводит к уменьшению ускорения.
• Силы взаимодействия равны по модулю и противоположны по направлению.
• Силы действия и противодействия приложены к разным телам.